SÉANCE DU l5 MARS IQlS. 333 



les i■rf^,y,^) étant/? points de la courbe/(r, r), et les Cp^, tl des constantes 

 arbitraires; les fonctions symétriques rationnelles des x,,,yh sont des fonc- 

 tions abéliennes i dep arguments, dont n seulement sont variables. Enfin, 

 introduisons les m - i intégrales de troisième espèce 



JC' 



fJ(j' + B,„r'"') 



Nous pouvons indiquer maintenant l'expression des intégrales de (A^) 

 les premiers coefficients A^., des polynômes b/,^ (a-) sont donnés par 



logA,,= (H,-H;,) y.^^-yiJ,{.T,„y,) +eonst. (/. = 2, . . ., m). 



^-^'•)[i^-i^^-^^-^^')] 



11 en résulte que les A^, sont des fonctions à multiplicateurs constants, 

 quon peut exprimer comme quotients de fonctions thêta-ahéliennes . 



Les A/ une fois connus, on en déduit les A}}j par des opérations ration- 

 nelles où figurent (rationnellement) les coefficients de /et des fonctions 

 abéliennes .f . 



3. Le cas où Téquation en S de la matrice B,y a des groupes de racines 

 multiples est encore plus difficile; j'ai montré qu'il ne produit pas un 

 abaissement du genre /?, mais i[ introduit dans la solution des fonctions 

 zêta-a bèlienn es . 



4. Il est bien remarquable de voir les fonctions tliêta-abéliennes découler 

 naturellement d'un système différentiel linéaire; mais, sans m'attarder à 

 l'intérêt rétrospectif du problème, j'indiquerai brièvement quelques-unes 

 de ses conséquences. 



M. L. Schlesinger, à qui l'on doit le système remarquable (A^), a voulu 

 établir que son intégrale a ses points critiques fixes-; mais sa démons- 

 tration est absolument inexistante. Or, le résultat que je viens d'obtenir 

 conduira vraisemblablement à cette conclusion, soit au moyen de la 

 méthode donnée par M. P. Painlevé pour l'équation y" = 6j- -f- ^, soit 

 par le détour suivant : la forme même de la transformation (s.) conduit à 

 admettre que les intégra/es de (A») sont asymptotes à celles de (A^); or les 

 résultats importants de M. P. Boutroux laissent espérer qu'en profitant de 

 cet asymptotisme on pourra démontrer les propriétés fondamentales des 

 intégrales de (A,) : méromorphie, croissance, etc. 



