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II. J'ai montré que la recherche de ces systèmes triples se ramenait à 

 celle des solutions communes à deux équations du troisième ordre. J'ai 

 réussi à mettre ces équations sous une forme extrêmement symétrique. 

 Pour que les surfaces u(.v,y. s) = const. appartiennent à un système 

 triple, il faut et il suffit que le déterminant suivant soit nul : 



S = 



Si l'on supprime la première ligne, on forme un Tableau de six déter- 

 minants du cinquième ordre. En égalant à zéro deux d'entre eux, on a les 

 équations qui expriment que les surfaces u forment un système 1. Si par 

 exemple le déterminant formé par les éléments communs aux lignes de 

 rang 3, 4, 5, 6 et aux colonnes de rang 1,2, 3, 4 est différent de zéro, on 

 prendra les équations qui correspondent à la suppression des colonnes de 

 rang 5, puis 6. On peut également introduire les expressions H/^. Alors, 

 dans le même Tableau, il suffira de remplacer la ligne des A,/, par 



H,,+ 3/.H, U2,+ 3?.H, H334-3XH, H,,, II3,, H,.,, 



ou 



/. r= 



Avec les notations de M. Maurice Levy, on trouve 



s 6».% — /■ 6»;;. ,. _ _ sdyt — i o'ry _ / 0,;.. — rOy. 



3 9(/7 — .vM 



pqr — s{\-^ p') pr/l — s{]-^q'-) r[i ~h f/') — t{i + p-) { p^ 



O'^ 



qui se réduisent manifestement à deux. iMiiin je ferai observer que, pour 

 une famille de sphères, les déterminants du cinquième ordre formés dans S 

 avec les lignes de rang i , 3, 4> 5, G sont nuls et réciproquement. 



III. Je me propose d'indiquer ultérieurement quel est le degré de géné- 

 ralité des solutions communes aux deux équations du troisième ordre. J'ai 

 déjà indiqué un grand nombre de solutions. Si Ton cherche les solutions de 



