SÉANCE DU 29 MARS igiS. 39I 



la forme de M. Bouquet z^ = X -i- Y -h Z, on trouve 



. X'X'"—2X"-' __ Y' Y"'— 2Y"^ _ Z'Z''— 2Z"2 

 X^^ — ~ Y' — : T' 



faciles à intégrer. Il est facile de montrer qu'en dehors des familles de 

 sphères, il existe des solutions dépendant de fonctions arbitraires. Si les 

 surfaces u sont de révolution autour de Oc, les deux équations se réduisent 

 à une et j'ai trouvé le résultat suivant : 



Ayant choisi arbitrairement la fonction/(::), on considère une solution 

 de l'équation 



(') /^'+^'+p =/( = )' 



alors les courbes 



z{x , y) -=2. const. 



sont les trajectoires orthogonales des familles de méridiennes des surfaces 

 cherchées, Oy étant l'axe de rotation. 

 Si l'on prend l'équation du second ordre 



les deux familles de caractéristiques forment un système orthogonal dont 

 la projection sur le plan des xy donnera les méridiennes de deux des 

 familles, la troisième étant formée de plans. On a donc une solution dépen- 

 dant de deux fonctions arbitraires d'une variable. 



Si, dans l'équation (ij, on remplace y (:: ) par une constante, la solution 

 correspondante est donnée par 



^'- + j^ = «.[^-F(«)]^H ^— ^. 



Quand on a choisi la fonction F, on a une famille de quadriques dont les 

 génératrices rectilignes sont normales à deux familles de surfaces. Si F est 

 nulle, les quadriques ont les mêmes axes; c'est la solution qui correspond 

 aux équations intégrées par Halphen et M. Darboux dans le cas particulier 

 des surfaces de révolution. 



C. R., 1915, i" Semestre.. {1. 160, N" 13.) 



53 



