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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions abélienries singulières. 

 Note (') de M. Gaetaxo Scorza, présentée par M. G. Humbert. 



On sait que la théorie des fonctions hyperelliptiques singulières est 

 dominée par un beau théorème de M. Humbert, d'après lequel un certain 

 invariant, le discriminant d'une certaine forme binaire quadratique, 

 demeure constamment du même signe. 



On peut généraliser ce théorème en suivant une voie géométrique qui 

 me paraît jeter quelque lumière sur ce sujet. 



Bornons-nous, pour plus de clarté, au cas des fonctions abéliennes à 

 trois variables indépendantes. 



Soit le Tableau des périodes 



(i: 



la condition d'existence d'une fonction abélienne /(w, v^ n) appartenant à 

 ce Tableau est donnée par des recherches classiques de Riemann, ^\ eier- 

 strass, Poincaré et Picard. 



Elle consiste en des équations et en une inégalité entre les périodes, que 

 nous désignerons respectivement par (i) et (2). 



Les équations (1 ) sont des relations bilinéaires 



( I ) • i c,.,.,o/,.oj; =r o ( /•, s -- I 6 ), 



f i r,...ç(JL)J.fj).ç =: o 



où les c^ s sont des nombres entiers tels que 



Ainsi que je l'ai montré dans une Noie publiée en iQi^ dans les Comptes 

 rendus du Circolo de Palerme, l'inégalité de Riemann, exprimant qu'une 

 certaine forme demeure toujours positive, peut être remplacée par deux 

 inégalités (jui ne renferment plus des indéterminées. 



Ce sont précisément ces inégalités que nous tiendrons en vue dans la suite 

 en parlant des inégalités {-i); à leur égard il suflira de rappeler qu'elles 

 renferment seulement les c^g, les parties réelles et les coefficients de limagi- 

 nxiire dans les périodes oj,., oj|. et 0/. 



(') Séance (lu i 9, mars 191."). 



