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servant un signe constant, cette équation a au plus une racine réelle. On 

 peut toujours déterniiner un entier m tel que 



»t - < -pp- < ( /» + I ) 77 ; 



en substituant ces deux multiples de k à u^ on voit que l'équation a une 

 racine comprise entre les mêmes multiples de û. 



Il faut alors résoudre cette équation. Dans des cas étendus, on peut lui 

 appliquer la méthode des approximations successives, telle qu'elle résulte 

 des travaux de M. Kœnigs sur les équations fonctionnelles {Annales de 

 r École Xormale, i884 et i8(S5). Lorsque • 



le, | + |eo|+.. .+ |e„|<i. 



on peut, pour calculer l'approximation, employer l'élégante méthode que 

 M. Kœnigs a donnée pour l'équation de Kepler et qu'on trouvera dans le 

 Tome I de mon Traité de Mécanique rationnelle (Chap. XI, n° 239). 



V. Le calcul direct des coefficients du développement de 



et, en général, de cosy^ ou sinyM, en série de Fourier, procédant suivant les 

 cosinus et les sinus des multiples de -^^j conduit à des fonctions de plu- 

 sieurs variables comprenant, comme cas particuliers, les fonctions de 

 Bessel. Ces fonctions sont du type suivant : 



... — .r„ cil 



.1/. (.r,, .^•.J Xit)-=z— j cosika — .Vi sin// — ,/% 



le type le plus simple, après les fonctions classiques de Bessel, est la fonc- 

 tion de deux variables 



I /"■ /, . sim//\ 

 z =- j/^{,r, y) =z — I coi \ /, 1/ — .rsirw/ — y \(l//. 



'• Jd \ '* / 



<pii vérifie des équations diiïérenlielles linéaires dont une, 



ô'z <)-z _ô'-z 

 ij.r' àr- Oy'- 



est indépendante de l'indice /•. Ces fonctions paraissent devoir être rangées 

 dans le groupe des fonctions se rattachant aux polynômes de Legendre et 



