SÉANCE DU II» AVRIL IQlS. 4^7 



En continuant ainsi de proclie en proche on arrivera (inaJement à cette 

 conclusion que 



(,o) 



?«-I('z0 = 



dx 



sera, en valeur absolue, inférieure à un polynôme de degré n — i; en 

 remontant de proche en proche, on tirera la même conclusion vis-à-vis 

 de toutes les dérivées de y jusqu'à Tordre // inclus. Des propriétés ana- 

 logues subsisteraient du reste si les fonctions /j,,/>.,, ..., yj„ et les dérivées 

 que nous avons considérées étaient majorées par des polynômes. 



Montrons maintenant que, dans les conditions précises du problème, les 

 dy d-y d" y 



dérivées -j-, , ,, 

 dx dx- 



dx" 



sont en réalité elle-mâmes bornées. 



Donnons-nous un nombre positif quelconque p et déterminons les fonc 

 lions A,, A., ..., "a„ , et M par l'identité 



d'^-^r . dv 



(TI 



dx ydx"^' 



. ïd" y 

 ydx" 



/'i 



dx"-'' 

 d''-'\v 

 dx"-^ 



l'ny 



à laquelle on satisfait en posant 



À, =:z 0- -h rjfi 



Pi — /' 



;'2) 



9^ + .'^"/'i "+" 9^1 + /'3 





I •A„_,=:o"-l-f-p"-V,-V-- 



1 i' — (>.;,_, — p/.„„,—/>„)j-. 



R contient linéairement y», et ses n ~ 2. premières dérivées, p., et ses n — 3- 



premières dérivées^ etc., de sorte que A,, Xo, ..., À„ , sont bornées^ 



ainsi que leurs dérivées premières, d'où il résulte que // est également 



bornée. 



- d y' (t" Y 



Intégrons maintenant la relation ( i [)de ./à + yi. Puisque y, ~-y •■, -^ 

 sont majorées par des polynômes, on pourra écrire, après intégration, 



e-P' 



d"-' 



4^ 

 Idx" 



. d"---y 



Y 



+ i-n xy 

 H- Pn y -^ 



r _, r d" y d"-^y 



-j e-^-[o{x)-ra\dx:^ [^(£) + „(^)]j 



a dx 



d.i 



oie) +v{i) _,, 



