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A chaque solution "k de Téquation (6), la formule (5) fait correspondre 

 une solution X' de l'équation (7). Nous avons ainsi une expression [m, n] 

 de M. Darboux. Il est facile d'en trouver la nature. Il faut pour cela trouver 

 les solutions X de l'équation (6) qui annulent X'. Or, si X' est nul, il en est 

 de même de h\ la surface (G,)'se réduit à un point, la surface (M) est une 

 sphère, par conséquent 



A = a~cos©-:^) >. = cos0. 



au 



Il n'y a donc qu'une seule solution de l'équation (6) qui réduise a' à zéro ; 

 par conséquent V peut être réduit au premier ordre par une transformation 

 de Laplace. On vérifie facilement, en effet, que si l'on fait sur l'équation (G) 

 la transformation de Laplace 



£?À sin6 sinÔ dc& 



^ ' au ^ âd cosy du 



COS& ^r- 



âu 

 on a bien, en tenant compte des équations (i), 



COS0 â<s ôL 

 ^^' sin9 au ou 



Le passage de la surface (C,) à la surface (M') se fait de la même manière 

 que le passage de (M) à (G,). Il en résulte que si X, désigne la valeur de X 

 qui correspond à la surface (M'), on aura 



^ ' du âu^ au^ au* 



B, G, D, E étant des fonctions de 11 et v qu'il est inutile de calculer. La 

 surface (M') ayant même représentation sphérique que la surface (M), 

 X, sera solution de l'équation (6). X, est donc une expression (m, n) qui 

 transforme l'équation (6) en elle-même. Il résulte de ce qui précède que 

 celte expression peut être réduite au deuxième ordre par deux transforma- 

 tions de Laplace; il existe donc deux solutions, linéairement distinctes, de 

 l'équation (6) qui rendent X, égal à zéro. Il est facile de trouver ces deux 

 solutions : il y a d'abord la solution X = cosO qui annule X' et par suite X, ; 

 il y a ensuite la solution X qui donne X' — coso et qui correspond au cas où 

 la surface (G,) se réduit à une sphère, solution qu'on peut obtenir par une 

 quadrature. 

 Je considère au lieu de X^ l'expression suivante :• 



^ ' ^ ' du du^ du^ du'' 



