SÉANCE DU 19 AVRIL I9l5. 499 



OÙ A est une fonction quelconque de 11 et c et où B, C, D, E ont les mômes 

 valeurs que dans l'expression (10). 



Je vais chercher si cette expression peut se réduire au troisième ordre à 

 Taide de la Iransformation (8), c'est-à-dire si Ton peut trouver P, Q, R, S 

 tels que 



(lu (lu- ()(l' 



Si l'on fait l'identification et si l'on élimine P, Q, K, S entre ces équa- 

 tions, on trouve une relation linéaire homogène entre A, B, C, D, E. 



Le coefficient de A dans cette relation est un déterminant dont tous les 

 éléments de la diagonale sont égaux à a, tous les éléments à gauche de la 

 diagonale sont nuls; si donc B, C, D, E sont donnés, la relation ne peut 

 être satisfaite que pour une seule valeur de A. Nous savons qu'elle est 

 satisfaite pour A = i , elle ne peut être satisfaite pour d'autres valeurs. 



Maintenant, puisque l'équation (6) admet les solutions \ et A,, elle 



admet la solution 



/i — KÀ. 



K étant une constante; cette expression est de la forme F( A), où A a la 

 valeur [ — K. D'après ce qui précède, celte expression ne peut pas être 

 réduite au troisième ordre. Donc : 



Si ^n est pas nul, il y a quatre solutions, linéairement distinctes, de l équa- 

 tion (6) qui se reproduisent au facteur Iv prés par la transformation (10), 



Au point de vue géométrique, la surface ( ^\ ) est homothétique à la sur- 

 face M. 



Le cas particulier où K = i mérite une mention particulière. (Jn a alors 

 quatre solutions linéairement distinctes de l'équation (i\^ pour lesquelles 

 X, = À. La surface (M') est égale à la surface (M), et comme elles sont 

 orientées de la même façon, on passe de (M ) à (M') pai' une translation. 



Parmi ces solutions particulières, il en est une qui est évidente, c'est la 



solution X = 1 , qui correspond à /• = -j-- Dans ce cas, le rayon de courbure 



de la première ligfne de courbure de (M ) est égal à Tunité. Les courbes 

 décrites par M et C, , quand u varie seul, sont telles que chacune d'elles est 

 le lieu des centres de courbure de l'autre. On montre facilement qu'on 

 obtient ainsi toutes les surfaces possédant cette propriété. La surface (M) 

 coïncide alors avec la surface (M). On détermine ainsi toutes les surfaces 

 qui possèdent la propriété suivante : 



c. R., 1915, I" Semestre. (T. 160, N" 16.) ^>7 



