532 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



conque des coordonnées Xi. Si l'on pose 



(3) «1^.=: a,-.— «A:, 



on pourra, par exemple, donner à réquation (2) la forme suivante 



et cette équation elle-même peut être remplacée par les deux suivantes 



(5) 



( /j.( «120^2 +«34 ■373) + «4,^4-+- aisJCs =0, 



OÙ (X désigne un paramètre arbitraire. 



Celles-ci représentent un cercle qui appartient à la cyclide. Lorsque [j. 

 varie, on obtient une des deux séries formées de cercles normaux à la 

 sphère coordonnée (S,), définie par Téquation 



L'autre série s'obtiendrait en changeant le signe de a^j dans les formules (5). 

 En échangeant les indices i et 4 par exemple, on obtiendra une nouvelle 

 série de cercles orthogonaux à la sphère coordonnée (S4) et représentée 

 par les deux équations 



(6) 



( a3*-^3 «42-^2 -^ lJ-'{<^il^i~aik^s)^=0, 



] /JL'(a34^3-h aiî-^a) + (241^1 + «54^5 =0, 



OÙ u.' désigne également un paramètre variable. 



Les équations (5) et (6) déterminent, nous allons le voir, les rapports 

 mutuels des cinq coordonnées a?,. Elles nous font donc connaître, en fonction 

 rationnelle de [i et de tx', les coordonnées d'un point de la surface et nous 

 permettent ainsi d'obtenir la solution du problème proposé. 



Pour les résoudre, on peut éliminer x^ entre les deux premières et a?, 

 entre les deux dernières, ce qui conduira au système suivant 



j «12(1 — p."^) ^2— <^2l(l + f^^) -^3— 2/^ «,50:5= O, 



(7 ) \ 



( a42(l-t-i^'^)^2— «^SiCl — /^'M-3^3-H 2^' «540^5=0, 



d'où l'on déduira 



I pX^— 2a3iâ'54jLl'(l 4-]J.^) -+- 2«i6f/34 fJ.(l — /a'2) — P(^, IX'), 



(8) < 0^3= 2ai5«42 /-t(H-f^'-)-H 2«5;ai2fx'(i —fx-) =Q{ix,ix'), 



p étant un facteur de proportionnalité. 



