SÉANCE DU 26 AVRIL IQlS. 533 



On pourra tirer ensuite ^, et ^4 d'une des équations (5) et (6), ce qui 

 donnera 



Ces formules, jointes aux précédentes (8), complètent la solution. On en 

 déduit que toute fonction linéaire des coordonnées (multipliée par p) sera 

 de la forme 



A |J(.2 ix'- -+- /JL/Jl' ( B fJl -f- C ]Jl' ) + Cp, ( /^; /^' )î 



A, B, C désignant des constantes et ©2 désignant la fonction la plus géné- 

 rale du second degré. 



En d'autres termes, si l'on considère u., [).' comme les coordonnées recti- 

 lignes d'un point dans le plan, les sections de la cyclide par une sphère 

 quelconque sont représentées par des courbes du quatrième ordre ayant 

 deux points doubles à l'infini dans la direction des axes coordonnés. Nous 

 allons voir de plus que ces courbes passent toutes par quatre points à distance 

 finie. 



Les cinq coordonnées sont, en effet, des fonctions linéaires de P((J., [v-'), 

 Q([;l, [a'), R([i., tx'), et ces polynômes sont les trois déterminants qu'on 

 peut former avec la matrice 



«12(1 — K") — «3l(l + /J--) —2 «15 p. 



-«■2(1 -f- p.'-) «34(1 — p.'') — 2(754 p' 



Ils s'annulent donc pour le système de valeurs donné par les équations 



^12(1 — F-') _ ^31 (' + ;-'-"') _ ^15 p- 



«42(1 + /J-'") ~ «34(t — F-'-) ~ «54F-' 



L'élimination de [jt.' entre ces équations conduit à la relation 

 "42 "34 "54 



qu'on peut écrire plus simplement 



(10) «25«34(' — /■^')'=«l3«!2(l + F')% 



en tenant compte des identités de la forme 



(11) «//.«L + «'/«,nÂ-+ «L«l/= O 



qui lient les quantités au,. Il y aura donc bien quatre points communs aux 

 courbes planes qui représentent les sections sphériques de la cyclide. 



