534 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les valeurs correspondantes de [x et de [).' seront définies par les 

 équations 



2 /x _ e ( I 4- /J.- ) _ £'(i — fJ.^) 



— — > 



«^23^15 ^25^31 ^12^53 



où £, c désignent l'unité positive ou négative. On peut encore écrire 



(i3) 



^23<^5* 



Une fois connue l'expression des coordonnées pentasphériques, on aura 

 sans difficulté celle des coordonnées rectilignes, qui sont des fonctions 

 linéaires des précédentes. On voit donc que, dans le mode de représentation 

 que nous avons obtenu, les sections planes de la cyclide seront représentées 

 par des courbes du quatrième ordre ayant deux points doubles à V infini dans la 

 direction des axes coordonnés et passant en outre par quatre points Jixes situés 

 à distance finie. 



Cette représentation n'est pas identique à celle qui a été donnée par 

 Clebscli; mais il est facile de ramener l'une à l'autre les deux représent 

 talions. 



Supposons, en effet, que les axes des [jl et des \j.' aient été déplacés de 

 telle manière que l'origine soit devenue un des quatre points communs aux 

 courbes qui représentent les sections sphériques de la surface. Alors l'une 

 quelconque des coordonnées /rasera donnée par une expression qu'on pourra 

 mettre sous la forme 



(i4) pxi= kiix'^ix'- -h (B,iJi + C,/jt.')|jLp.'-i- «/fx^H- bi[i[i.' + Ci[i.'^+ di[i -\-Ciii.'. 

 Remplaçons, dans cette formule, 



(i5) [x par ^, ^' par ^, p par ^^. 



Elle deviendra 



(i6) pxi^ki-^ B,V4- G,X + ail'^-\-biXk'+Cil^+ {cliV+ e,l)lV. 



Dans les équations (i4) les seconds membres s'annulent^ non seulement 

 pour la solution u.=:pL'=o, mais encore pour trois autres systèmes de 

 solutions. A ces trois solutions la substitution (i5) en fera correspondre 

 trois autres, qui annuleront les seconds membres des équations (16). Si donc, 

 l'on considère A, A' comme les coordonnées d'un point du plan, les courbes 



