SÉANCE DU 26 AVRIL IQlS. 535 



du troisième degré, représentées par les équations 



A,4- B,X'+ G,X + a,>,2 4- ^•>.X'+ c,>;^+ (c^A'H- e,-X)XX'= o, 



auront, en commun, trois points situés à distance finie; mais auront, en 

 outre, deux directions asymptotiques communes parallèles aux axes. Donc : 



Les sections sphériques de la cyclide sont l'eprésentées sur le plan par toutes 

 les couT'hes du troisième degré qui passent par cinq points distincts. 



Sil'on veut se borner à considérer les sections planes, il suffit de remarquer 

 que les coordonnées rectilignes d'un point sont des fonctions linéaires des 

 coordonnées pentasphériques et que, par suite, les sections planes de la 

 surface sont représentées par des cubiques qui passent par les cinq points. 

 C'est la solution que Clebscli a prise comme point de départ. Au reste, on 

 peut obtenir directement les équations des courbes qui représentent les 

 sections planes de la cyclide. Car on sait que l'équation 



(17) lhiXi=o, 



qui définit, en général, une sphère, représente un plan si les constantes hi 

 satisfont à la condition 



R/ désignant le rayon de la sphère coordonnée (S,). 



Ce qui concerne la représentation de la courbe double de la cyclide se 

 présente aussi avec la plus grande simplicité. Car l'équation du plan de 

 l'infini étant, en coordonnées pentasphériques, 



(19) 2i = «' 



la courbe du troisième degré qu'on obtiendra en remplaçant dans cette 

 équations les x. par les valeurs (16) servira de représentation à la courbe 

 double. On verra facilement, comme l'a indiqué Clebsch, que les deux points 

 de la courbe qui correspondent à un même point de la conique double sont 

 en ligne droite avec un point fixe pris également sur cette courbe et que 

 l'on construira aisément. En général, il sera possible de résoudre toutes les 

 questions relatives à la représentation de la surface; puisqu'on a, en même 

 temps que l'expression des coordonnées x^ en fonction de (j., ]x' ou de X, À', 

 celle de ces variables en fonction des coordonnées x^. 



Les résultats s'énonceront avec une plus grande élégance si, aux variables. 



