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En outre, de Téquation ('-17) {loc cit.), on a aussi 



àpiâpi opidp.2 àpiâp. 



Nous allons maintenant prouver qu'on a en général 



Supposons que cela soit vrai jusqu'à une certaine valeur de X-; pour la 

 valeur suivante on a 



â- logA,- . . . /?,+/, ^/^ log///^i . . . /i,-/.- 



àpi dp2 ' àpi 0p2 



d'ioghhi . . . /< ;w, 2 , 



— «/-/r- 1 H ^ 5 — lli^k^f 



00 i (10 > 



Le théorème étant vrai pour ^ — i, il Test toujours. 



En particulier, h.^, — /i^ /i.^._..= /i^ c'est-à-dire que l'équation E._,, a les 

 mêmes invariants que l'équation E; la suite est donc périodique. Si l'on a 

 aussi h, = A,_, = /i, les équations E- /. et E,^./^ ont aussi les mêmes invariants, 

 mais les variables de dérivation sont changées. Supposons maintenant 

 qu'il y ait une autre équation E,, à invariants égaux, comprise entre E etE,. 

 Alors, ou i el i ont un diviseur commun :^ i, et alors les invariants de E, 

 doivent coïncider avec ceux de E ou de ]\, ou bien /' et /' sont premiers 

 relatifs, et alors toutes les équations de la suite ont les mêmes invariants ('). 



On peut aussi compléter le théorème en ajoutant que : S/ dans une 

 suite de Laplace il y a deux équations avec les mêmes invariants mais changés 

 de place la suite est périodique (- ). 



2. Voyons quelques cas particuliers. 



Si i — I, toutes les équations de la suite ont les mêmes invariants égaux; 

 on tombe évidemment sur les équations 



âo, do y 



(') La seconde partie de ce théorème peut être iililenienl rapprochée d'un lliéorème 

 de M. Tzitzéica, sur lequel je reviens ci-après. Il dit que si ( \i) a ses invariants égauv 

 et si .*■(■-"' ^ a;, il peut arriver que ^'"'' ^= x si m est un diviseur ( p= 2 ) de mi : on peut 

 ajouter que si cela arrive {2/1 étant la période de la suite), il doit être m = n . 



(■-) Si les invariants étaient les mêmes et dans le même ordre, le théorème aurait été 

 évident. 



