SÉANCE DU 26 AVRIL I9l5. 553 



Si i = 2, on a /t./i, ^= (p(p, ) 'j;(p^,), et Ton peut remplacer les variables 

 de manière à avoir hJi^ = i ; si Ton pose Ii = e'^ on a, pour déterminer 6, 

 l'équation 



Z^_.«_.-e 



do\ âon 



Elle ne diffère que par un facteur 2 au second membre de l'équation 

 donnée par M. Darboux pour déterminer les suites dont les équations se 

 reproduisent de deux en deux ; mais il est bien clair que ces deux problèmes 

 sont distincts et qu'ils n'admettent pas même des solutions communes. 

 Autrement on aurait aussi à = A, et l'on tomberait sur le cas précédent. 



Si i= 3, on a /f./i^./).,= o(p,)'j;(p^,). Si l'on pose A/ = e^'^^ après avoir 

 réduit A./«,./zo = i (ce qu'on peut, si ce produit n'est pas nul), on a pour 

 déterminer les 0, le système 



+ 0i + 0.,= o, 



6/-0 



,« _ g- (6+9. 



(Jpi Op., 



qui est, comme on devait s'y attendre, symétrique par rapport à 0, G., ( ' ). 

 Si h = /^^, 8 doit satisfaire à l'équation 



00 1 ()p^_ 



Supposons au contraire /«.A,.A2 = o : puisqu'il est inutile de supposer 

 h = o, ce doit être A, = ou bien Ii.^=:. o. On a les équations du premier type 

 en prenant pour les solutions de l'équation de Liouville, pendant que la 

 construction des équations de l'autre type dépend de l'intégration du 

 système 



>0 _ /^©, 



Opi ôpi 

 àpi dp^_ 



— o^©, 



(') L3 sysième formé par les deux dernières équations a été déjà rencontré par 

 M. Guichard; voir : Sur une classe particulière d'équations de M. Moutard 

 {Comptes rendus, t. 156, 191 3, p. 7^8). 



