5^76 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



qu'on obtient toutes ces cubiques en égalant à zéro une combinaison 

 linéaire quelconque des cinq quantités u^ définies par les formules suivantes 



/ w, = .r(y" -a:.-), u, — y{y'- — xz), 1/.,= z{y' — œz), 



(^) < u;,=z ax'^y -h bx'^z -i- cxfz -\- c'a^z- + b'yz^-\- a' z^, 



{ «5= ax^ -+- h a.- y -+- cœ-z + c' .ryz -t- b' xz- -\- a'yz-, 



en sorte que l'équation générale de toutes ces cubiques sera 



(5) ^AiUi=o, 



1 



les A, désignant cinq constantes arbitraires. 



Il est facile de voir qu'il y a deux relations quadratiques entre les z/,. On 

 a, en effet, 



a?«4 — /«;;— (6^2_,_ c'j:- -\- a' z-){xz — /^), 

 y a,/— z Ur:,^= («^^+ c xz + b' z-) {y- — xz)^ 



d'où, en multipliant par j- - xz^ 



«, f/i — UoU-^z^ — bu'l - c' ifi 1/3 — a' ni, 



l'-2l'\— "3 "5^^ «^"l -^ c Hy U3 + b' i/'l. 



Cela donne les deux relations quadratiques 



( bll-,-+-c'u,u^-{-a'^{l-^-ll,u, — [/^u.^^=o, 



(6) : ,, : 



Si l'on veut réduire les premiers membres, qui sont des formes quadra- 

 tiques liomogènes, à des sommes composées des mômes carrés, il faudra, 

 comme on sait, annuler le discriminant de la forme 



{al ~h b)u'l -Jr- {cl -t- c')uiU.,i + (/>'A + a') al -h UiU,— }.ii.2i(,^+ la^iU,^— //2"r,- 

 En égalant à zéro les dérivées, il viendra 



1i{a}. -h b)(/i-\- {cl -h c') Uj -t- «4 3= o, 

 — lu.,— a^zzzo, 

 ^j, ( c->. + f' ) «1 + 2 ( // >. --1- a' ) «:( + 1 11^ — o, 



1 M| ll(.2 - o, 



\ ll/;i U.,=^ o, 



et rélimination des //, nous conduira [)récisément à l'éijuation (3) 



/(A)--z.o 



