592 

 simultanées : 



(0 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



/, = /? 



V 



Uj z= Xj 4- > «/, ?>,/.( '',. . . . , Un) (y = I , 2, . . . , «). 



En effet, en désignant par ?^,, ..,, u,^ les racines de ce système qui se 

 réduisent à x-, , . . . , ^„ pour ^r , = . . . =«„ = o, on a le développement 



D(//,, 



(2) 



U ( .ri , i'„ ) .^iJ «j, ! ^«,^ ! " 



OÙ symboliquement 



(3) P,„, 



X-k^n 



[/.=« 

 S^"-. 



Voici une démonstration inspirée de celle que H.-K. Heine ( ') a donnée 

 pour la série de Lagrange. On considère la fonction arbitraire <I»0',, .--îJ^) 



oxxYi = Xi — V «a-9/,a(^, , . • . , ^i^„) : 



u 



(,a = m, + . . .+ w„), 



puis on forme l'intégrale 



{•>) ^—i F(.r,, ..., ^„)a>(r,. . ... j„)c/.r, . ..r/.r,,, 



iX,i 



X, désignant le domaine limité par la multiplicité : /(a,\. 

 On peuL écrire 



x„) = o. 



— f t'("n • • -, «„)<I»(.ri, . . ., oc„)diiy . . . du,,, 



, Un) = O 



./,X.,, ^''(.•^ I- • • • 1 -ï'n; 



OÙ U désigne le domaine limité par la multiplicité : /(w,, 

 ou enfin 



Xa étant le domaine des r qui correspond à U. On donne ensuite à t|> une 



(') 11.-1^2. Heink. Lngran^e's UinLehruni:^sfo?-mel {Journal fiir die reine und 

 angew. MateniaiiL', t. 5'i, 1857, p. 388). 



