SÉANCE DU 3 MAI IQlS. Sg^ 



variation ô$, arbitraire dans le domaine ( ' i X„ commun aux domaines X, 

 et Xo, nulle sur la frontière de Xo et au dehors : 



ÔJ ^ r"F(^/., . , ., ^„) !^'"' ""{ dibcU,., . dx„. 



D'autre part, en remplaçant dans (5) $ par son développement (4 ), on 

 obtient une deuxième expression de o J, où figurent des termes de la forme 



■^(Xo) \ • 1 • • • ^ « / 



En transformant ces termes par les procédés du Calcul des Variations 

 et en identifiant les deux expressions de cJ, on trouve la formule (3). 



Les expressions P„,_ „,^ se simplifient d'une façon remarquable quand les 

 fonctions ^y /^ satisfont à certaines conditions : 



1° Soit 



9;,/,= o (A'-^y), Ojj=:'bj{Ui, . . ., U„)\ 



les équations ( i) se réduisent à la forme considérée par M. Darboux : 



2° Soit 



?i,'.=^'|a(«i), ?/,/> = *"^ (y>'); 



les équations (i ) s'écrivent 



V ..,.^.„ 



A = l 



ici 



Dans ce type, rentre la généralisation ([ue M. Appell ('- ) a donnée de 

 l'équation de Kepler : 



Il — e, sin // ?,\n2u — . . . ^ sin /m ^zi —— — 



2 ni 



( ' ) Le domaine X,, existe toujours, jDoui'vu que les «/. soient suffisanimenl petits. 



(-) P. ÂPPELL, Su/- L'invei-sioii approchée de certaines intégrales réelles et sur 

 l'extension de l'éfj nation de Kepler et des fondions de liessel {Comptes rendus, 

 t. 100, 191.5, p. 419). 



