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J'interprète, comme crordlnaire, n-r-i solutions indépendantes de (E) 

 comme coordonnées homogènes d'un point qui décrit une surface $ avec 

 un réseau conjugué. Appelons x''^ le ï"^'"'' transformé de Laplace de .r 

 [dont les coordonnées sont des solutions de (E,)] qui décrit lasurfaceO;. Je 

 dis que (') si x^'^^.x, c est-à-dire si la suite est péi'iodique avec période i, elle 

 est plongée dans un espace S, , ai — i dimensions. 



En effet, l'espace S,_, osculateur en jc à la courbe p, de <ï> est celui qui 

 joint X au S,_^ osculateur en x- ''àla courbe p, de <I>, ; pareillement, l'espace 

 S,_, osculateur en x à la courbe p^ de <!> est celui qui joint r au S,_^ oscula- 

 teur en ^^'~'' à la courbe po de <£>,„, (- $_ , ). Je dis que ces deux espaces 

 S,_, coïncident. En effet, j'ai montré ailleurs que (-) l'espace S,_^ oscula- 

 teur enx'"' à la courbe c, est aussi osculateur en .r ~' à la courbe Po. Or 

 si aucune surface de la suite ne dégénère en une courbe (^), il n'est pas pos- 

 sible que les espaces S,_, osculateurs à un système de courbes du réseau 

 conjugué coïncident en chaque point avec les S,_, osculateurs aux courbes 

 de l'autre système, à moins que toutes les surfaces de la suite ne soient 

 plongées dans le même espace S,_,. c. q. f. d. 



2. Supposons maintenant que les tangentes aux courbes d'un réseau 

 conjugué sur <I>, en S3, soient tangentes à une quadrique; nous voulons 

 démontrer que le réseau donné est à invariants égaux et cjue la suite de 

 Laplace est périodique. La première partie est évidente puisque le plan 

 tangent en un point de $ coupe la quadrique suivant une conique qui, on 

 le voit immédiatement, est celle de Kœnigs ('). La droite .r.r^'\ qui touche 

 en X la surface $ et en x'^' la quadrique, a pour tangente conjuguée par 

 rapport à la quadrique la tangente à la courbe po en ^f'' et le plan oscula- 

 teur à cette courbe en ce point n'est autre chose que le plan polaire de x 

 par rapport à la quadrique. Par la même raison, ce plan est aussi osculateur 

 à la courbe p, en a:'~'^etpar conséquent les plans osculateurs aux^courbes p^ 



C) TzrrzÉiCA, Sur les réseaux conjugués à la suite de Laplace périodique 

 {Comptes rendus, t. 157, 191 3, p. go8). 



(-) Comptes rendus, t. 156, 1918, p. 6o3. 



(•') Celte restriclion est nécessaire. J'ai trouvé un exemple de suite à période 3 

 fermée des deux côtés sur une môme courbe (]ui appartient à un S., (voir : Contri- 

 hulo alla studio dei sislemi lineari di rette (Atli /st. Veneto, t. 73. igio-igi^). 



{'*) Le tliéorème de M. Kœnigs sur les équations à invariants égaux (dont j'ai donné 

 une démonstration très simple dans Atti Lincei, 7 février i9i5) semble avoir com- 

 plètement échappé à M, Wilczvnski qui l'a retrouvé dans un article : Fldchen mit 

 unbeslimniten Direktrixkurven {Math. A/in., 70 l>d, voir p. i42-i4;>)- 



