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Je suis parvenu récemment à la démonstration du fait que le nombre ^ 

 de MM. Pfeiffer et Voronoï ne peut se remplacer par aucun nombre infé- 

 rieur à j' Plus précisément, j'ai établi Texistence d'un nombre K tel que 

 chacune des inégalités 



(i) A(/0>K«*, A(/0<-K«^ 



est vérifiée pour des valeurs indéfiniment croissantes de Ji. 



2. La démonstration repose sur la considération de la fonction 



F(y)==y^.-W" [R(j)>o]. 



En faisant application du théorème de Cauchy et des formules connues 

 de MM. Cahen et Mellin, on trouve pour ^\> i : 



.A +iOO f- . \ -lO 



/ I I \ - 



ds 





'h 



ii^^V tir [:('_!„ 



^+G(y), 



G(j) étant une série convergente pour (j) <^ l\r,. Ces formules nous 

 permettent d'étudier la fonction F(j) dans tout le plan. C'est une fonction 

 multiforme qui possède des points singuliers isolés en nombre infini ; et, ce 



qui est l'essentiel, elle a des infinis algébriques, d'ordre -? en tous les points 

 On a, de plus, 



et 



A, B étant des constantes absolues quand tj tend vers zéro par des valeurs 

 positives. Pour achever la démonstration, il suffit de suivre le raisonnement 

 dont se sert M. Landau (') en dénionlranl une proposition analogue de 

 M. Schmidt. 



(') Landau, llaii(lbucli, p. 718-719. 



