648 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



1° Le quatrième minimum est a -h ib -{- c, obtenu pour cr^i,y=^ — \'^ 



2^ Le cinquième minimum est [\a — l\b -[- c^ obtenu pour a? = 2, y = i ; 



3° Le sixième minimum est le plus petit des deux entiers l\a -\- [\b -\- c 

 et a — l\b -\- [\c, obtenus respectivement pour a7 = 2,j= — i,et x =^ i, 

 r = 2; 



4*^ si le sixième minimum est le second^ a — [\b -{- c, de ces entiers, le 

 septième minimum sera le premier^ l\a -\- L\b ^ c. 



Démonstration. — Observons d'abord, qu'en vertu même de (i) et de 

 l'hypothèse b^o, les six nombres 



(2) a, c, a — 2b-\-c, a-^-ib-hc, 4« — 4^-t-c, [\a -\- [\b + c 



sont rangés dans l'ordre des grandeurs croissantes (ou du moins non 

 décroissantes, deux ou plusieurs d'entre eux consécutifs pouvant être 

 é2:auxV 



Cherchons alors, d'une manière générale, quels entiers inférieurs 

 à l\a -+- [\b + c peuvent être représentés proprement par la forme, c'est- 

 à-dire trouvons toutes les solutions, en A et [j., de l'inégalité 



(3) «}.-— 2^X|jL + c]jL-< 4« + 4^ + c, 



X et [JL étant deux entiers premiers entre eux : cette dernière condition est la 

 définition même de la représentation propre. Distinguons maintenant trois 

 cas : 



i" a = o. Alors A, premier à [j., ne peut être que ±1; et le premier 

 membre de (3) se réduit à «, terme initial de la suite (2). 



2" {x = ± I. L'inégalité (3) s'écrit 



«(>.2— 4) — 2 bQ.p. -1- 2)<0. 



c'est-à-dire 



(4) (//a + 2)[«()./JL-2) — 2 6]<0. 



Si Aa — 2 est négatif ou nul, Vinégalité n'est possible que pour "A[j, + 2 ^ o ; 

 en sorte qu'on a 



— 2 < }.[Ji ^ 2 ; 



\x étant ± 1 , cela exige que X prenne une des valeurs o, ±1, ±: 2 ; le pre- 

 mier membre de (3) est alors un des nombres 



r, a — 2 b -\- Ci <i -\' ib H- r, L\a — [\b a,- c^ î\a -\- l\b -^ c 



