SÉANCE DU 17 MAI IQlS. 653 



diffèrent de moins en moins de nombres entiers, on pourra, d'une telle 

 suite, extraire une suite S telle que les fonctions (3) tendent simultané- 

 ment et uniformément vers Xes fonctions limites 



qui sont les dérivées successives de la première d'entre elles. 



Or, on démontre aisément que, f{oc) étant bornée, f^ (oc) coïncide néces- 

 sairement avecy(.r). 



En effet, /"(^ + h) est, quel que soit A, une intégrale de l'équation diffé- 

 rentielle 



mais, h étant le terme général de la suite S, <^{x -h A) a pour limite 's>{x). 

 Il en résulte que fi{oc) est aussi une intégrale de (i); par suite, la diffé- 

 rence fi{x) — /{-v) est une intégrale de l'équation différentielle homo- 

 gène 



d"Y . d"^^Y 



—r=^ 4- Â, -, =^ -h . . . -t- A,, r = o. 



dx" ' dx"-^ -^ 



La différence fi{oc) — f{x) étant d'autre part bornée, on en conclut 

 que y, (^x) est de la forme 



y, {x) ■=:f{x) -\- 1{(Z coswj: 4- D sinco jt) 4- E. 

 Or, h désignant toujours le terme général de la suite S, on aura 



f^_{x)^=\\mf^{x-\- h) =fi{x) -\- i(C coso)^- 4- U sinoj J?) 4- E 

 =2 f{x) -\- 2 2L{G cosw^ 4- D sino)^) 4- 2E 

 et ainsi de suite, 



/;.(^) r= lim //; I (.r 4- h) zzif{x) 4- A" i(G coso) j; 4- D sin w^) 4- AE, 



Comme toutes les fonctions y^(a;) sont bornées, avec les mêmes bornes, 



ceci n'est possible qu'avec 



G = D = E = o 

 et, par suite. 



On en déduit immédiatement que, pour toute suite A, telle que S, congrue 

 à zéro suivant les périodes a,, a^^ . . ., « , 6,, 63, . . ., 6^, les fonctions (3) ont 

 une limite, car, s'il en était autrement, on pourrait obtenir avec ces fonc- 

 tions au moins deux systèmes distincts de limites, ce qui est impossible, 

 d'après ce qui précède. 



Cela établit précisément que l'intégrale considérée /(.^) est une fonction 

 quasi périodique attachée au corps des périodes «,, '^''2? •••^ ^/<j ^i» ^25 •••5 ^y- 



