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y étant homogène d'ordre //z, il est élémentaire d'établir une relation entre 

 da^ et di d'où 



(5) 





Dans l'intégrale double, les termes en /forment un ensemble homogène 

 d'ordre — 3; elle est donc transformable, par (2), en une intégrale de ligne 

 étendue à Z. 



On aura donc, toujours d'après (2), 



(6) <7z-~ j {^dy — Y dx), 



si l'on trace le contour Z sur la surface d'équation 



(7) i-=^{x,y)-^^jf~'^{f}+f^-^fifdz, 



ù (^, >') étant une fonction arbitraire, mais homogène d'ordre — 2. 



S étant situé sur la surface (7), sa perspective, de centre O, sur E, et sa pro- 

 jection sur le plan Oxy enferment des aires équivalentes. 



2. Passant sur de nombreux cas simples, je prends l'ellipsoïde E. Soit 



Si E est d'équation M = i , on a, d'après (3) et (2), 



(8) aE=Jf)^{^^r + ^y + yz)da='-£@{xdy-rdx), 



où désigne l'expression 



N-C^^-^ V/(M -C:;-^)(N -CM)! 

 I — arc tan"" — — — - 1 • 



M - C = - 



V/G(N-GM)(M -C.v^) \/C(M + sv/N) 



[^'intégrale de ligne, troisième membre des égalités (8), paraît fort 

 compliquée, mais elle l'est surtout si l'on cherche à tracer directement Z 

 sur E; c'est faire M = i dans 0, ce qui ne simplifie en rien les singularités 

 de celte expression. N = i simplifie; si S est section plane de l'ellipsoïde 

 auxiliaire N = 1, la perspective de 1^ sur E est l'une des frontières des zones 

 introduites par M. G. Humbert dans son profond Mémoire Sur le théorème 



