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En attendant la publication prochaine du Mémoire détaillé que j'annon- 

 çais dans la Note rappelée ci-dessus, je me propose d'indiquer ici comment 

 la forme réduite (C) permet d'obtenir les multiplicités linéaires invariantes 

 par la substitution donnée et d'en tirer quelques conséquences. 



2. Plaçons-nous dans le cas où à chaque racine, simple ou multiple, 

 de l'équation caractéristique correspond un seul diviseur élémentaire. 

 La forme réduite (C) est la suivante : 



OÙ c^, C.,, ..., c„ sont les coefficients de l'équation caractéristique 



A(S):=S'^— c„S"-' — c„._iS"-^-... .-c,S-c, = o. 



Soit A, (S ) — S'' + a, S^"' -f- a.S^"- + a^,_, S -{- a^, un diviseur de A(S). 

 La multiplicité M.^, déjinie par les équations . , 



/•;■•■_■ : : 



V *■ II- p — •^11 + <^i'^'« -1 H- • • • + y-p -Tc n_i, — o, 



est invariante par la substitution (C). Réciproquement , toute multiplicité 

 linéaire invariante par (C) peut être obtenue ainsi à Vaide d\m certain 

 diviseur de A (S). 



En efTel, la substitution (C) Iransfonne la multiplicité (i) en la suivante : 



(2) ^\—0, 1^3= o- ■•■> Pn-p=0. P„_/, + i = 0, 



OÙ l'on a posé 



'^n-p+\ ^^ <^l'^'l -\- C^'To -{-... -h C,iX„ 4- «1 Xfj -r- ÛCoa?,,., + . . . -+- (Xpa',i_j,_f.x. 



Or, en exprimant que Ai(S) est un diviseur de A (S), on a une identité de la 



<ii un J'ascio di forme bilineaii {Annali di Matemalice, 3'' série, t. li); mais, à ma 

 connaissance, aucun d'eux n'indique explicitement, parmi les diverses Ibrmes réduites, 

 qu'on peut obtenir, par des calculs rationnels, la forme particulièrement simple (C) 

 qui paraît avantajieuse dans diverses questions d'Analyse. M. Burnside {Proceedings 

 oj tlie London Mathem. Society^ t. 30, p. t8o) donne une méthode de réduction 

 dans laquelle il est amené à introduire incidemment la substitution (C), mais il ne se 

 sert de cette substitution que comme auxiliaire pour arri>er' à la forme classique de 

 M.Jordan. 



