SÉANCE DU 2 5 MAI igiS. 678 



forme 



(3) A (S) ^ ( S/' + a. S/'^i + . . . 4- a,, ) (S« -'' + 3, S'^-n-^ + . . . + |3„_,,)> 



qui peut s'écrire 



S"— .c,S«-' — . . . — CoS - Cl — S"— a, S"-' — . . . — a/,S"-'' 



Développons el ordonnons les deux membres de cette identité, puis remplaçons-y 

 les puissances successives i,S, S-, ... de S par les variables a?i, œ-^. ... respectivement. 

 On obtient ainsi une identité, par lapport à ces dernières variables, qui s'écrit 



(4 ) ' n—p+l ^ Hl i 71— /> H2 1 n-p—l — • • • P«— /' ' l7 



et qui prouve que la multiplicité (2) transformée de (i) coïncide avec (1). 



Réciproquement, on voit aisément que toute multiplicité invariante M^, peut être 

 représentée par des équations delà forme (i) donnant lieu à une identité delà forme (4). 

 d'où l'on déduit l'identité (3) qui démontre la réciproque énoncée plus haul. 



Exemple. — Soit la transformation 



Xi = X2, X2=^3, Xs-zrx;,. Xv = — Xi — 4.^0— O.r.j — ^J.\. 



On a : A(S)= (S + i)\ Aux diviseurs S^ i, S^ + 2 S + 1 , S=^ + 3 S- 4- 3 S 4- i 

 de A(S) correspondent respectivement : 



Un point invariant M, défini par les équations 



a:.y 4- j7, irz 0, .373 4- .i?2 = o, .r; 4- a'.-j z^ o : 



Une droite invariante Mo définie par les équations 



X-:j -h 2.r, 4- -T, =: O, X ■ -+- 2JC.i ~\- .V.^ =^ O : 



Un plan invariant iVl3 défini par l'équation 



a\ 4- 3j7:i 4- 3.ï'2 4- Xi nz o. 



On voit que, si les coefficients de la substitution appartiennent à un 

 certain domaine de rationalité, on peut détei^minei^ par des opérations 

 rationnelles, celles des multiplicités invariantes qui correspondent à des 

 diviseurs de A (S) rationnels dans le domaine considéré. 



3. Décomposition de (C) en plusieurs substitutions de même forme. — 

 Supposons A(S) décomposé en un produit de deux facteui^s premiers entre 

 eu.x, A, (S), A2(S) et soient 



Ai(S) = S/^-«/,S/'-'-«,,_,S''-2-...-a2S-«, 

 A2(S):zzS?- Z>yS'/-^ — ViS"^"'— •••-'^2^ — 6, '^ V 



