SÉANCE DU 3l MAI IQlS. 707 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Su7' la théorie descriptwe des nombres dérivés 

 d'une fonction continue. Note (') de M. Arnaud Denjoy, présentée par 

 M. Jordan. 



Je désirerais exposer brièvement quelques propriétés des nombres dérivés 

 des fonctions continues, relatives à l'un ou l'autre des deux points de vue 

 descriptif et métrique. Le point de vue descriptif embrasse principalement : 

 pour les fonctions, la continuité, la classe (dans la répartition de M.Baire); 

 pour les ensembles, la densité et les notions corrélatives. Les propriétés 

 descriptives se conservent par une transformation continue et croissante 

 quelconque effectuée sur la variable indépendante. Les propriétés métriques 

 sont plus précisément celles qui demeurent par une transformation de 

 l'espèce précédente, mais douée en plus de nombres dérivés lînis en tout 

 point. Ce sont par exemple la dérivabilité des fonctions, la constitution 

 mince ou épaisse des ensembles. Les propriétés métriques des ensembles 

 jouent un rôle essentiel relativement aux fonctions caractérisées par des 

 propriétés différentielles (fonctions de variables complexes, fonctions 

 sommes de séries trigonométriques ou dérivées secondes généralisées, 

 fonctions dérivées, etc.), c'est-à-dire pour des fonctions f{oc) dont la 

 variation est en tout point mesurable avec la variation de x prise pour 

 unité. Mais, en général, ces propriétés attirent peut-être trop exclusive- 

 ment l'attention sur elles. Le point de vue descriptif fournit pour les fonc- 

 tions de cette nature et leurs ensembles singuliers des aperçus souvent 

 aussi utiles que les premiers. 



Je rappelle quelques définitions et j'en pose de nouvelles : je nomme 

 ensemble gerbe sur P parfait, continu ou discontinu, un ensemble agrégé 

 à P et formé de la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles non 

 denses sur P. Les ensembles gerbes sur P ne sont autres que les ensembles 

 « de première catégorie » de M. Baire. Je nomme résiduel de P le complé- 

 mentaire relativement à P d'un ensemble gerbe sur P. Les résiduels sont 

 parmi les ensembles de deuxième catégorie de M. Baire (lesquels com- 

 prennent par définition tous les ensembles agrégés à P, sans être de pre- 

 mière catégorie sur P). Mais ils n'en sont qu'une partie. Un ensemble de 

 deuxième catégorie sur P peut avoir pour complémentaire relativement 



(') Séance du 25 mai igiS. 



