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à P un autre ensemble de deuxième catégorie et alors ni l'un ni l'autre ne 

 sont des résiduels de P. Je qualifie à'inexhnustiblc sur P tout ensemble de 

 deuxième catégorie sur P. Il ne peut être épuisé par Textraclion bors de lui 

 d'une infinité dénombrable quelconque d'ensembles non denses sur P. Les 

 résiduels jouent un rôle très important dans la tbéorie descriptive des 

 fonctions. Ainsi, les points de continuité relativement h P d'une fonction 

 limite de fonctions continues forment un résiduel de P, d'après un tbéc- 

 rème fondamental de M. Baire. Et réciproquement, quand sur loul 

 ensemble parfait P les points de continuité de y relativement à P font un 

 résiduel de P,/ est limite de fonctions continues. 



Du point de vue descriptif, un ensemble gerbe est rare, quelle que soit 

 sa mesure, un résiduel du continu est par contre quasi universel. 



Les résiduels d'un ensemble parfait P jouissent de trois propriétés essen- 

 tielles : 1° un résiduel de P est partout dense sur P; 2° une infinité de 

 résiduels d'un même ensemble parfait P ont en commun un résiduel de 1* ; 

 3" un résiduel de P renferme sur toute portion de P une infinité d'en- 

 sembles parfaits. 



J'appelle variation d'une fonction continue /entre a et b, ou sur l'in- 

 tervalle ab, ou sur le segment ab Ç ) la différence /(b) -" f(a) ; variation 

 absolue de /"dans les mêmes conditions la valeur absolue du nombre pré- 

 cédent; variation relative^ le cjuotient de la variation simple par b — a. 



Les plus grande et plus petite limites de la variation relative de /' 

 entre x qK.x -\- A, h étant infiniment petit et positif, sont appelées respec- 

 tivement, qu'elles soient finies ou infinies, nombres dérivés supérieur et 

 inférieur droits de f en x. J'appelle nombre dèri'sè médian droit de / en x 

 tout nombre compris entre les dérivés extrêmes droits quand ceux-ci sont 

 distincts. Si a. est un nombre dérivé droit de^en a?, l'égalité 



a lieu pour une infinité de valeurs positives de h tendant vers zéro, 

 si iJL est médian, mais peut n'être vraie pour aucune valeur de A, si a est 

 un dérivé extrême. On définit de manière analogue les dérivés extrêmes 

 (supérieur et inférieur) et médians gauches de / en x. Désignons les 



(') Dans celte Note, de deux nombres énoncés successivement, ie premier sera en 

 principe toujours le plus petit. J'adopte invariablement la terminologie suivante : 

 l'ensemble a < ./■ <; b est V intervalle ab, l'ensemble a 1 j? 5 ^ esl le segment ab. Donc, 

 pour employer des locutions empruntées à M. Borel, et très souvent usitées, l'inter- 

 valle est pour moi toujours pris au sens étroit, le seg'ment au sens large. 



