SÉANCE DU l4 JUIN IQlS. 761 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Suj' les congruences W qui appartiennent 

 à un complexe du second ordre. Cas où F équation en 'S a une racine triple. 

 Note de M. C. Guichard. 



M. Bianchi a appelé W les congruences telles que les lignes asympto- 

 tiques se correspondent sur les deux surfaces focales. Relativement à ces 

 congruences M. Darboux (Leçons, 2.^ partie, Livre IV, Chap. XV) 

 a démontré un théorème qui est fondamental dans cette théorie: c'est que 

 les six coordonnées vectorielles de la ligne droite qui décrit la congruence 

 satisfont à une même équation linéaire du second ordre. Si l'on prend comme 

 paramètres u, v les paramètres des lignes asymptotiques des surfaces 

 focales, cette équation devient une équation de Laplace. J'effectuerai sur 

 les coordonnées vectorielles une substitution linéaire de façon à ramener 

 la relation quadratique qui relie les six coordonnées ^,, . . ., x^k la forme 



(l) X'\ -\- x\ -\- . . . -\r XI -ZIZ O . 



Ces coordonnées doivent être des fonctions de // et v satisfaisant 

 à l'équation 



/ X d-x dx ôx ^ 



ôii âv ou ^ c/f 



On voit que la théorie des congruences W se ramène à celle des con- 

 gruences I dans l'espace à six dimensions. 



Si la congruence appartient à un complexe du second ordre, on aura 

 entre les x^ la relation 



o{xi, Xo, . . ., Xe) = o, 



ç étant homogène et du second ordre. On sait qu^en généi^al on pourra, 

 par une substitution orthogonale qui n'altère pas la forme (i), ramener o à 

 la forme 



( 3) oj,,r^ + 002^2 _j__ _ _^ fj)fixl := o. 



Les cas d'exception, qui correspondent à des complexes bien connus, 

 seront étudiés plus tard. Pour le moment, je me borne au cas où l'équation 

 du complexe peut être ramenée à la forme (3); coj, Wo, . . . , w,. sont les 

 racines de l'équation en S de la forme z>. Des relations (i) et (3) on déduit 



(f.j, + h)x] -+- («2 4- h)xl +. . .+ (o)j+ h)xl =z o. 



