SÉANCE DU l4 JUIN igiS. 761 



on aura les n — i relations 



n 



(I) > ^1 — = (5— /,,..,« — i); 



t 



d'oïl, par différentiation ('), 



n 





1 



n 



0'^ Xi âxi 



= 0, 



dasd(Xn-i ày-t 



= (i = I, ...,« — i), 



et, en particulier, en posant s = n — i dans la dernière, en vertu de la pré- 

 cédente, 



V71 O^x, àx, 



(II) 



^idocj,^^ à Us 



Les dérivées ' ne peuvent pas être toutes nulles (autrement la 



é ne serait 

 à-dire 



variété ne serait pas une hypersurface); on pourrait avoir , ^ ' = o, c'est- 



ce type rentre dans le cas général que nous allons discuter. 



Les dérivées premières et secondes des a^i par rapport à a„_, satisfont à 

 un même système de « — i équations homogènes, le rang de la matrice des 

 coefficients étant n — i (dimension de V„_,). On en conclut 



d-Xi d^x.2 à'x„ 



/jll^ ^^"-1 _. àcxl^^ _ _ _^«/i^i_ 



dxi àx.2 ' ' dx„ 



d'où l'on déduit 



•^/ — /(a,, . .., ««-2)^ -+- ?f(ai, • • •. «« -2) 



[avec X = X(a„_.,)]. En tenant compte des (I), on trouve 



i/-'=». i/'^=° '^=' '-^' 



(') Le calcul est presque le même que celui de M. Darboux, loc. cit. 



