SÉANCE DU l4 JUIN igiS. y63 



lions, analogues aux (III), qu'on pourrait écrire 



àx^ dx^ ' ' ' dXfi 



6>a„_2 c'a,,,, dXn-1 



ce qui est impossible. 



// n'existe pas dliypersurfaces dont le ds'- soit une forme quadratique de 

 m<^n — 1 différentielles ( * j . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les nombres dérivés. 

 Note de M. Arxaud Denjoy, présentée par M. Jordan. 



J'ai, dans une Note récente (^), indiqué que les groupements des quatre 

 nombres dérivés extrêmes d'une fonction en un point peuvent se rattacher 

 à 85 cas différents, se distinguant par les signes des dérivés infinis ou les 

 relations d'égalité ou d'inégalité entre les dérivés finis. Ces 85 cas se 

 réduisent à 53 si l'on néglige les ensembles dénombrables. 



L'étude des associations typiques susceptibles de se maintenir en tous les 

 points d'un même ensemble parfait mince ou épais, me paraît dominée par 

 un théorème énoncé ci-après. Soient respectivement E,^(a), e,/(a), "/],/(a) 

 les ensembles de points x où f possède du côté droit : i° son dérivé supé- 

 rieur au moins égal à a; 2° son dérivé inférieur au plus égal à a; 3° un 

 dérivé médian ou extrême égal à a. 



Premier théorème (théorème descriptif) des nombres dérivés. — P étant un 

 ensemble parfait continu ou discontinu, si les extrémités gauches c^ des inter- 

 valles d'une certaine famille c^d^ ou S,„ sont toutes agrégées à P et forment 

 sur P un ensemble partout dense, si déplus S„ est infiniment petit pour n infini^ 

 alors ^ 4 désignant la variation relative de f sur S„ : 1 ** si /„ surpasse toujours k ; 

 2'' si 4 est toujours inférieur à k ; 3*' si 4 tend vers k ; dans ces diverses hypo- 

 thèses les ensembles ¥^,({k)^ e\i(k), ■r\,i{k') sont respectivement résiduels sur P. 



Car, £„ désignant un infiniment petit positif quelconque, à cause de la 



(') C:;tte question ne peut même pas se poser dans l'espace ordinaire. 

 (■-) 3i mai igio. Je prie le lecteur de se reporter à cette Noie pour y trouver les 

 définitions de certains termes employés dans celle-ci. 



C. H., iqiD I" Semestre. (T. 160, N" 24.) ICI 



