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continuité de/", c„ est compris dans un intervalle c\x"n ou od„, de longueur 

 inférieure à £„, laissant r/„ à son extérieur, et pour tout point x duquel la 

 variation relative de/ entre x et d^ dift'ère de /„ de moins de £„ en valeur 

 absolue. Tout co„ contient une portion de P, donc les c„ étant denses sur P, 

 co„ contient une infinité d'intervalles oj„^_y,. Les points intérieurs à une infi- 

 nité d'(D„ font donc un ensemble dense sur P. D'ailleurs, l'ensemble com- 

 plémentaire est manifestement gerbe sur P. Le premier est donc un rési- 

 duel, en tout point duquel /jouit des propriétés différentielles énoncées. 

 Ce théorème, susceptible d'une seconde forme quand on échange les 

 côtés droits et gauches, possède des applications extrêmement nom- 

 breuses. Je citerai entre autres celle-ci, que j'ai donnée en 191 2 pour 

 fonder le calcul inverse de la dérivation, ou totalisation : 



Si une fonction est pourvue en tout point de P de nombres dérivés finis pour 

 au moins un côté, C ensemble des points de P au voisinage desquels la variation 

 relative de f sur les continus à P est non bornée, cet ensemble est non dense 

 sur P . 



On peut remplacer dans cet énoncé les variations relatives (YRw,;)/ 

 de /"sur les contigus u„ ou «„/>„ de P, par les oscillations relatives (ORt/,,)/ 

 sur les mômes intervalles, Toscillation relative d'une fonction /'sur ab ou u 

 étant par définition le quotient par b — a de Toscillalion de /sur u. 



J'appelle variation relative supérieure {\n[é\'\ç\M:Q ) de J sur u au delà de a, 

 et je désigne par (^rt\]{«)^/| par (aVR^),/], le maximum (le minimum) de 

 la variation relative («A R.2'^/de/entre« et .r, quand a; se meut dans l'in- 

 tervalle ab. Je définis de même la variation relative supérieure ou inférieure 

 de f sur u en deçii de /^ et je la note (u VR/>)j/ou (u\V\b),f. Pour chacun 

 des M^, quatre nombres peuvent être ainsi définis. Moyennant l'hypothèse 

 que les dérivés concernant un côté donné sont bornés soit supérieurement, 

 soit inférieurement, on trouve, grâce au premier théorème, des énoncés 

 du type indiqué ci-dessus. Par exemple : 



Si le dérivé supérieur droit est borné supérieurejywnt en tout point de P, 

 l'ensemble des points de P au voisinage desquels 1rs nombres (a„\]\u„ ) ^f ne 

 sont pas bornés supérieurement , cet ensemble est non dense sur P. 



Signalons encore ce résultat, également déduit du premier ihéorènie : 

 L" ensemble des points où une fonction possède un nomb/e donné ^ fini ou infini, 

 pour nombre dérivé (^QXliàmv. ou médian \ cet ensendde ou bien < st non dense 



