sÉA^CE uu i4 JUIN 1915. -(j5 



sur tout ensemble parfait (M s'il est dènomhrahle, ou bien contient un 

 ensemble parfait^ s'il est non dènombrable. 



L'étude métrique des nombres dérivés me paraît tirer grand profit du 

 théorème suivant susceptible de diverses formes (douze) selon les côtés et 

 les sens d'inégalité choisis. 



Second thkorèmr (^théorème métrique) des nombres dérivés. — P étant un 

 ensemble paj' fait discontinu d'extrémités a et b et d'épaisseur e sur ab ('-), si 

 Vun des couples de conditions suivantes est vérifié simultanément par les 

 dérivés droits de f en tout point de V, par les variations de f sur tous les con- 

 tigus u,i à P, 



A,/ > >., (U„VR6„)//> — [j. (mêmes sens criiiégalités), 



^(^ > ''^1 ( 0R"7i^/"< i'^ (sens de la seconde inégalité invariable), 



ôa'>t., (^'R«„)/> — tj. ( mêmes sens d'inégalités), 



X et u. étant fixes, de signes quelconques (sauf toutefois l'obligation pour [x 

 d'être positif dans le second cas), alors on peut légitimement conclure à 



(^) Les ensembles non denses sur tout ensemble parfait, ensembles nécessairement 

 dénombrables et que je qualifie de clairsemés, donnent Heu au théorème suivant : 

 Un ensemble quelconque se décompose en un ensemble dense en lui-même et un 

 ensemble clairsemé. La décomposition est unique si le second ensemble est astreint 

 à ne contenir aucun point limite du premier. Appliqué aux ensembles fermés, ce 

 théorème fournil leur partage classique en un noyau parfait et un ensemble dènom- 

 brable. 



(^) J'appelle épaisseur d'un ensemble, sur un intervalle, ou sur un segment ab, le 

 quotient par b — a de la mesure de la portion de l'ensemble comprise entre a et b. 

 \u épaisseur à^ l'ensemble, en un point agrégé ou étranger à lui, est par définition la 

 limite, si elle est unique, de l'épaisseur de l'ensemble sur un intervalle quelconque 

 contenant ce même point et tendant indifféremment vers zéro en longueur. J'appelle 

 ensemble épais tout ensemble possédant une mesure positive, ensemble mince tout 

 ensemble de mesure nulle, ensemble épais en lui-même tout ensemble épais dans 

 chaque intervalle contenant un quelconque des points de VemexnXAe; pleine épaisseur 

 (sous-enlendu du continu) un ensemble dont le complémentaire est mince ou encore 

 dont l'épaisseur est un sur tout intervalle, pleine épaisseur d'un ensemble E tout 

 ensemble agrégé à E et ayant même mesure que E. On dit aujourd'liui assez souvent 

 qu'une propriété d'une fonction est vérifiée presque partout si elle est exacte sur un 

 ensemble dont le complémentaire a la mesure zéro. Comme il me parait tout aussi 

 légitime de dire qu'une fonction limite de fonctions continues esl p/'esque partout 

 continue, et que cependant l'ensemble de ses points de continuité qui est un résiduel 

 peut être mince, nous substituons irrévocablement à la locution habituelle presque 

 partout l'expression sur une épaisseur pleine. 



