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Il est visible qu'ici, sous le signe / , rexponentielle, moindre que i , tend 



vers l'unité quand w croît de zéro à oo (sauf infiniment près de la limite 

 inférieure y = o). Donc I grandit en même temps de zéro à i ; et Kco) 

 tend, avec un écart relatif évanouissant £, vers Fexpression — — , approchée 



d'ailleurs par excès. 



On développe aisément l'écart relatif £, c'est-îi-dire i — I, suivant les 



puissances ascendantes de - — ^^ en intégrant I par parties un nombre 

 indéfini de fois, sous la condition de prendre sans cesse l'exponentielle 

 comme facteur non intégré. Le facteur intégré est, chaque fois, de la 

 forme //(log-j^y, où / désigne un polynôme à degrés successifs o, i, 



2, 3, ... ; ce qui donne 



j7(logi)rfy==y/(logi)+y/(log^)4-y/''(logi)+.... 



Par exemple, en se bornant à la première intégration par parties, il 



vient 



1 1 /, 1 



„ i O) - \ Y 



(3) 



= 1 — 1 



2 0-)" ./, 



^ y I ' 2 0^-' 



le dernier membre s'obtient en remplaçant l'exponentielle par sa valeur la 



plus forte I et intégrant (log - ) «?y; ce qui donne (ylog - -\- yj ou i. 



Mais effectuons encore sur le troisième membre de (3) une intégration 

 par parties indiquée. Nous aurons 



(4) 





loa 



dy. 



L'intégrale par laquelle se termine le second membre est visiblement 

 moindre que 



an 



+ log 



r/y 



y('og-j +3ylog- +3y 



Par suite, si l'on appelle s' l'excédent positif de -^ sur £, l'écart relatif 

 par excès, s, de l'expression asymptotique — 



sera 



(5) 



I 



2 CO- 



avec 



4o.'' 



_i 3_ 



2C)- 2W- 



