SÉANCE DU 21 JUIN ipiO. • 797 



On démontre aisément (jue chacune des six intégrales précédentes 

 y , , . . . , j6 converge uniformément pour |a?| > A, A étant suffisamment grand ; 

 quand \x\ croit indéfiniment, les z-(x) tendent vers i. D'ailleurs, on peut 

 supposer les j, prolongées analytiquement jusqu'au poitit ^-^ (quelconque, 

 à distance finie). Posons encore w,= )'^:y,-, cela étant, j'ai établi le 

 théorème suivant : 



L'ÉOI'ATION (I) AD>n:T comme intégrales [>REMn>RES LES RAPPOniS ANHARMOMOCES 

 DE QUATRE OUELCONOUES DES QUANTITÉS OJ,. 



A deux rapports distincts (') correspondent deux intégrales premières 

 distinctes de (I), telles que, par exemple : 



^^ -^ — ^zziconst., ^-^ -^ — ■ ^'=const., 



( (O3 — W2 ) ( (<>■. Wi ) ( 0)3 — fjJ, ) ( W5 — 0), ) 



ou, en posant 



Oy.tà.,',,'. 0.23 011.= COnSt., Ô13O2.5: Ô23Ôi3=5COnSt. 



Je me propose de revenir sur celte représentation (qui rappelle celle des 

 fonctions hypergéométriques par des intégrales définies) afin de montrer 

 tout le profit qu'on peut en tirer dans l'étude de l'équation A" = 6À- -f- /. 



3. En définitive, nous sommes partis d'une équation linéaire (l'"vi) possé- 

 dant quatre points réguliers et un groupe G bien déterminé; nos passages à la 

 limite ont fusionné ces points en un seul (irrégulier) et ont réduit G à la 

 substitution unité; aux intégrales canoniques de (I'^m) se sont substituées des 

 intégrales remarquables de (Ei), définies dans six secteurs. On peut dire 

 que l'équation (I) résout pour (E,) un problè/ne analogue à celui de Riemann 

 pour (Eyi), mais où les substitutions qui relient y ,, ..., j^ remplacent les 

 substitutions du groupe de (Ey,). 



4. Sans chercher à préciser davantage cet énoncé, je voudrais indiquer 

 une généralisation aux équations linéaires du second ordre qui promet d'être 

 féconde. 11 est très vraisemblable que les résultats que j'avais obtenus pour 

 les équations à singularités d'ordre 4 s'étendent aux équations linéaires du 

 second ordre, rationnelles en x, à singularités quelconques. Toute équation 

 possédant un point x^ d'ordre q, doit posséder iq ~ i intégrales remar- 



(') Ces rapports sont manifestement indépendants de .r„. 



