SÉANCE DU 28 JUIN I915. 837 



Tout revient donc à trouver une équation (3) ayant des solutions z^, ..., Sj^ 

 liées par les relations (i) et (16). 



Si l'on fait la transformation (4), on aura, outre les relations (5) et (6), 

 l'équation 



Les fonctions X étant solutions de l'équation (8), on voit que le point P 

 (X,, X2, X.,, X4) décrit, dans l'espace à quatre dimensions, un réseau O 

 situé sur la quadrique (17). Je considère le déterminant orthogonal qui 

 correspond à ce réseau O. On a évidemment 



('^^) tyfi\ -^ li'f^ii-^ iyn-.i-i- lyft'^ = o. 



La condition (17) conduit facilement à la relation 



('9) «iw]-/li + o.,l,r,.,-\- a^'iyn.i-\~ ('kCyrr^ = o. 



On peut facilement interpréter ces deux équations. Je considère dans 

 l'espace ordinaire les points C et D qui ont respectivement pour coordon- 

 nées homog-ènes H,, 'i,, E,,, ^., et y],, -^o, r]3, -q.,. Les formules 



()l dru 



montrent que les points C et D sont les foyers de la congruence CD. Les 

 équations (18) et (19) montrent que ces foyers sont conjugués par rapport 

 aux deux quadriques ayant comme équations, en coordonnées homo- 

 gènes, 



Xf +X^ + X^ + X?zr:0, 



a,Xf + «3X^ + ^3 X^ + «^X? = o. 



Une transformation dualistique conduit à une congruence dont les plans 

 focaux sont conjugués par rapport à deux quadriques. Ces plans sont con- 

 jugués par rapport à toutes les quadriques appartenant au faisceau tan- 

 gentiel déterminé par les deux quadriques primitives. On sait que ce 

 faisceau contient ({uatre coniques; par une transformation homographique, 

 on peut supposer que l'une de ces coniques est le cercle imaginaire rejeté à 

 l'infini. La congruence devient une congruence de normales, ses plans 

 focaux seront conjugués par rapport à une quadrique. On est ramené à un 

 problème quia été traité, etcomplètement résolu, par M. Darboux(Z,erom, 

 Vol. II, Livre IV, Chap. XIV). 



En reprenant les calculs en sens iqverse, on voit facilement qu'en partant 

 d'une surface de M. Darboux on peut, à l'aide d'une quadrature seulement, 

 déterminer les coordonnées d'une dongiuence cherchée. 



