SÉANCE DU 26 OCTOBRE 191 5. 489 



Nous allons montrer que, de la fonction /"(a?), on peut tirer une intégrale 

 de (i) quasi périodique et attachée au seul corps des périodes «,, «o, ..., o^, 

 qui caractérise !p(^). 



Désignons par A le corps des périodes défini par Tensemble des nombres 

 rti,«^,, ...,rt^,, />,,/a,, ..., ^^; par B celui défini par les seules périodes 

 «,, a.,, ..., a^, qu'où peut toujours supposer indépendantes. Le corps 

 commun à A et B est évidemment le corps B lui-même. 



Considérons alors la suite des opérations qui conduit à l'extraction, 

 dans /(■v), de la partie quasi périodique attachée au seul corps des 

 périodes «,, a., ..., a^,. 



Ces opérations, on le sait, sont de deux sortes : 



I" Les premières consistent dans la considération et la fornialion de 

 fonctions limites déduites de suites /(a? + A) où /i est le terme d'une suite 

 infinie toujours congrue à zéro suivant les périodes «,, r/., . . ., a^,. 



Il en résulte que de telles fonctions limites resteront intégrales de la 

 même équation différentielle, car les fonctions correspondantes o(x' + h) 

 auront toujours pour limites o{x). 



2" Les secondes consistent dans la formation de fonctions moyennes 

 limites telles (|ne 



Iim 



o\xf{x),J\(.r), ...,//,_, (r) sont des intégrales, de sorte que ces limites 

 sont aussi des intégrales. 



D'autre part l'ensemble des opérations ainsi eflectuées sur/'(.r) conduit 

 à la définition d'une fonction quasi périodique attachée au seul corps des 

 périodes a,, a._,, . . ., a^,. 



On peut résumer ainsi les résultats obtenus : 



1" Si l'équation caractéristique de l'équation différentielle (i) n'admet 

 ni racine purement imaginaire ni nulle, il existe toujours une intégrale 

 quasi périodique et une seule attachée au corps des périodes a^,a.^, .-..«/, 

 qui caractérisent le second membre ^(x). 



■2° Si l'équation caractéristique admet des racines purement imaginaires 

 ou nulles, toute intégrale bornée est quasi périodique et, s'il existe une 

 intégrale bornée, il en existe toujours au moins une quasi périodique 

 attachée au corps défini par les seules périodes a^, a,, ...,aj,. 



