SÉANCE DU 9 AOUT igiS. 120 



menls peuvent exister en t©us les points à la fois d'un ensemble épais? Les 

 deux théorèmes généraux énoncés dans ma Note du i4 juin dernier four- 

 nissent à cette question une réponse remarquablement simple. Appelons 

 associés deux dérivés extrêmes relatifs à un même côté en un même point; 

 opposés, deux dérivés extrêmes de côté et de rang- différents. Alors, sur une 

 pleine épaisseur du continu^ deux dérivés associés sont égaux si/s sont finis, 

 inégaux si l'un au jnoins est infini. Deux dérivés opposés sont simultanément 

 égaux et finis ou inégaux et infinis. 



Désignons respectivement par A, B, C, D les quatre cas suivants de 

 dérivés droits associés : 



(A) Xr^^ + cc, èa^ — yi; 



(B) Arf= + oo, ôrffîni; 



(C) A,/=::^(5rf finis (dérivée droite finie); 



(D) /^rf fini, ^a= — y- 



Soient, pour le côté gauche, A', B', C, D' les cas analogues aux premiers, 

 l'indice d étant remplacé par l'indice g. Les seuls cas réalisables sur des 

 ensembles épais sont les suivants au noml)re de quatre : 



(A/V) Af/= + oc, ô,/=z — Gc, A,, = +00, â^rz;--oo; 



(BD') Arf=4-oc, Q,;=A„ finis, rj,,.= _cc; 



(CC) Arf=i Orf=r Ai^n:::;: Qn^ finis (dérivée bilatérale finie); 



(DE') A,/=ô„ finih, ô,;— — ^x-, A,, = 4- oc. 



Les8i autres cas ne sont réalisables que sur un ensemble total mince. 

 La relation la plus nouvelle, à ma connaissance, fournie par ce Tableau est 

 la suivante : 



Un dérivé extrême D de rang et de côté donnés ou inconnus étant fini en 

 tout point d'un ensemble épais E, d'une part on ne peut, pour le second 

 dérivé D' relatif au même côté, obtenir de conclusion plus précise que 

 celle-ci : sur une pleine épaisseur de E, D' est soit fini et égal à R, soit 

 infini. Mais on est assuré que le dérivé D opposé {^out le côté et pour le 

 rang) à D, D, est, sur une pleine épaisseur de ]\, égal « D. ^ oici d'autres 

 conséquences du même théorème : 



Si sur un ensemble épais E, une fonction continue f possède en tout point 

 un dérivé bilatéral médian^ alors sur une pleine épaisseur E' de E, f possède de 

 chaque côté les dérivés extrêmes 4- ce c/ — y:: et, en tout point de E', tout 

 nombre fini est un dérivé médian bilatéral de f. 



