126 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Réalisation des cas fondamentaux sur des ensembles épais. — Soit V un 

 ensemble parfait épais ou mince, «„è„ ou m„ son intervalle contigu numé- 

 roté n. P étant déduit du segment ab de ses points extrêmes par extraction 

 successive des intervalles u^, ..., u„, ..,, soiip„ le segment conservé dans ab 

 après la suppression de «,, ...,u„^ et contenant w„. 



Si y est nul sur P et vaut sur u„ 



KPny 



y{x) étant une fonction définie entre o et i , alors, selon que 



,/• ( I — x) 



y = y-i ( •'f' ) = v ^ ( I — X ) si n 



v[^y~-x) 



dans ces trois cas respectifs, /, qui est continue partout et possède en tout 

 point étranger à P une dérivée bilatérale finie, présente sur P les cas difî'é- 

 rentiels [BD], [DB'] et (AA), les dérivés finis et égaux dans les deux pre- 

 miers cas étant nuls. 



Convenons de dire d'une fonction continue /(ip) qu'elle est doublement 

 nulle su?' un ensemble feiiné P si elle est : i'' nulle sur P ; 2" égale bors de P 

 au carré de la distance de r à P, multipliée par un facteur borné, /'possède 

 alors une dérivée nulle en tout point de P. Dans un contigu u„ de P, elle 

 vaut à(j? — a„)^(Z>„ — ^)- :m„, à étant borné. Le maximum de la valeur 

 absolue de X est par définition le coefficient de /. Considérons une suite 

 d'ensembles parfaits P„dont chacun contient les précédents et une suite de 

 fonctions continues/",,,, telles que /",„ soit doublement nulle sur P,„_, avec 

 le coefficient a,„ et possède une dérivée bilatérale finie et continue hors 

 de P,„. Alors, si la série a,„ est convergente, la série /",„ a pour somme une 

 fonction continue présentant en tout point de P,„ le même cas difTérentiel 

 que /„,. De là, cette conséquence : 5/ Von décom,pose indifféremment le 

 continu linéaire en quatre ensembles deux à deux distincts^ E,, E^, E3,Ej 

 (pouvant être partout épais tous les quatre), il est toujours possible de former 

 une fonction continue f réalisant respectivement les quatre cas fondamentaux 

 sur des pleines épaisseurs rfe E,, 1%, E.,, E, . 



Enfin, s'il est bien aisé de voir qu'une fonction ne saurait, sans être cons- 

 tante, admettre en tout point le dérivé médian ou extrême zéro pour un 

 côté invariable, il est curieux d'observer que la même conclusion n'est plus 

 nécessaire si le côté de ce dérivé partout nul peut changer d'un point à un 

 autre. 



