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de ^,, jo, . . ., 7„, et la relation (i) devient 



(5) /[■^■i-H«,/2,y.3, •.•,y«]=/['^-i,j2, /a, ■■■^.y»]. 



La fonction (4) admet donc, par rapport k x,, la période w. Inversement, 

 si l'on prend une fonction uniforme (4) de w,, y., .. ., r«, admettant, par 

 rapportât,, la période co, cette fonction exprimée en a?,, ro, ..., .r,j devient 

 une fonction uniforme qui vérifie la relation (i). 



En particulier, pour qu'une fonction entière de a^,, ^r^, . . ., Xn vérifie la 

 relation (i), il faut et il suffit que, dans le système des variables x,^ y.,, 

 Va, ...,JK«, elle devienne une fonction entière admettant, par rapport à.r,, 

 la période w. 



III. Gomme application, cherchons à déterminer \q polynôme 



le plus général en ,r,, x.,, ..., x„, vérifiant la relation (i). Par le change- 

 ment de variables (2) ce polynôme devient un polynôme 



(6) P[.r.,j,,r3, ■..,>] 

 enx^,y2^, •••?/« admettant la période w par rapport à x^ : 



Mais, pour qu'un polynôme P[a;,] vérifie une telle relation, il faut et il 

 suffit qu'il ne renferme pas x^. Donc le polynôme (6) est indépendant de^, , 

 et l'expression la plus générale des polynômes cherchés est 



c'est-à-dire un polynôme arbitraire en i^, j'3, . . ., y„. 



En résolvant les équations (2) par rapport aux^, on trouve {n — i) poly- 

 nômes particuliers vérifiant la relation (i) : 



r«= P„(x,,.ro, . . .,.r„; 



Le polynôme le plus général vérifiant la relation ( 1) est alors un polynôme 

 (juelconque composé avec ces polynômes fondamentaux. On peut remar- 

 quer que le polynôme P^, est du degré p en x^ et du premier degré par 

 rapport aux autres variables r,, a:.,, . . ., x^,. 



