SÉANCE DU 17 AOUT IQlS. 169 



comme on est conduit aux fonctions J^, par l'inversion de l'équation de 

 Kepler. 

 ' On démontre aisément les relations 



(,) 1= = A (.,„_, _.V,.) 



et^ si la série 1^7i\ a,jj converge, les relations de récurrence 



(2) TT.")^^ -[ai(-37t-i + '"^Ti+i) +. . .4- «a„(,5„+„+ -■^^-.„) 4-. . .]• 



Il est aisé d'en conclure des relations différentielles du second ordre véri- 

 fiées par A^,. 



Nous allons étudier ces relations en nous bornant aux cas des fonc- 

 tions 5^ de n variables 



f cos{pv — a, sin V — . . . — a,; sin/^(') dv 

 



(a„+,, oc^+o, ... étant donc supposés nuls). Il est aisé de former toutes les 

 équations différentielles du second ordre en 5,, qu'on peut déduire des 

 relations (i) et (2 ) : il suffit pour cela d'écrire toutes les relations [déduites 

 de (i)] donnant les dérivées premières et secondes de .3^, et les relations (2) 

 pour les valeurs de î: comprises entre /> — n et p -+- n, puis d'éliminer entre 

 elles 



On obtient ainsi N = /« + — ^ équations linéaires distinctes du 



2 ' 



I 1 ' -r» • ' • ( /' — ' ) ( '* — 2 ) 1 , 



type cnerche. rarmi ces équations, sont d un type très 



simple, on a 



ày-i (Jy./c dv-r àa.s ày.i da,. 



(si i 4- k =:/■-!- .9, />■ — 1-=. H /, /• — ^.9 = ^4- // 



Les autres sont un peu plus compliquées. Le système S de ces N équa- 

 tions est l'équivalent, pour la fonction .3,^, de l'équation de Bessel pour la 

 fonction J^,. 



Pour la fonction -'^^.(^'-i' ^-0 ^^ système comprend les deux équations 



^^ [^ï 4- 4«.(/. - 2^,)] 4- 2a,a, ^^ + a, -^ + A,[aT - (/> - .a,)-] =. o, 



oa-j âxi ây.2 <>y-'i oy.> 



C. H., Kji.'., 2' Semestre. (T. 161, N° 7.) ^3 



