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GÉOMÉTRIE. — Su7' la reclijîcalion et la quadrature des épi- et hypocycloïdes, 

 Note de M. M. d'Ocagne, présentée par M. Appell. 



Analytiquement, le double problème de la rectification et de la quadra- 

 ture des épi- et liypocycloïdes est depuis longtemps résolu; mais peut-être 

 n'a-t-on pas encore remarqué que sa solution est susceptible de prendre une 

 forme géométrique des plus simples, analogue à celle qui, beaucoup plus 

 facile à obtenir, est classique pour la cycloïde. 



Une épi- ou hypocycloïde est, comme on sait, engendrée par un point M 

 de la circonférence d'un cercle générateur (J roulant soit à l'extérieur, soit 

 à l'intérieur d'un cercle base -ift), de centre O, sur lequel se placent les 

 points de rebroussement de la courbe. L'enveloppe des positions de (J 

 comprend, outre ilb, un second cercle ^, de même centre O, qui peut être 

 dit cercle limite, et que la courbe touche par ses sommets. Enfin, nous 

 considérerons le cercle SW, également de centre O, lieu du centre de (?, que 

 nous désignerons comme cercle moyen. Les rayons y, P, 1, a de ces quatre 

 cercles sont évidemment liés entre eux par les relations 



2/^ = [3^/, 2y=±(>.-[3), 



le signe + s'appliquant aux épicycloïdes, le signe — aux hypocycloïdes ; 

 mais pour la simplicité et surtout pour l'uniformité des formules (qui 

 restent Jes mêmes pour les deux espèces de courbes), de même que pour la 

 facilité de leur interprétation géométrique, il est préférable d'y faire inter- 

 venir explicitement ces quatre rayons. 



La tangente en M à la courbe qu'engendre ce point passe, pour chaque 

 position du cercle Q^ par le point de contact P des cercles (j et j^. Si Q est le 

 second point où cette tangente rencontre le cercle 4^, on voit immédia- 

 tement que les arcs infiniment petits <^(P) et dÇQ) décrits simultanément 

 par ces points sont tels que 



^(P) _ _ MP 



d'où l'on déduit sans peine que 



l'attribution des signes étant la même que ci-dessus. 



