SÉANCE DU 8 NOVEMBRE IQIÔ. 55'] 



C'est en partant de ce résultat déjà connu, quoique, peut-être, sous une 

 forme moins précise, que nous avons obtenu les formules suivantes, dont 

 nous nous réservons de publier les démonstrations et de tirer diverses con- 

 séquences. 



Si p est la distance du centre O à la tang^ente en M à la courbe qu'en- 

 gendre ce point, le rayon de courbure ?- correspondant est donné par 



le signe ■+- (qui indique que le centre de courbure est du même côté que le 

 centre O par rapport à la tangente) s'appliquant encore aux épicycloïdes, 

 le signe — aux hypocycloïdes. 



Pour chaque sommet de la courbe, p = X, et par suite le rayon de cour- 

 bure en un tel point devient 



A 



Si s désigne l'arc de la courbe compris entre le point M et le sommet S le 

 plus voisin, t la longueur du segment MP de la tangente, on a 



2U. 



et l'on déduit aisément de cette formule que, si \J est le conjugué harmo- 

 nique de M par rapport à P e/ Q, o/z « arc MS = MU. 



Si a- représente l'aire comprise entre l'arc SM de la courbe, sa tan- 

 gente MP et l'arc SP du cercle '^, et u l'aire du segment du cercle (J limité 



par sa corde PM, on a 



À 



L'arc de la courbe, compris entre deux points de rebroussement consé- 

 cutifs, qui correspond à une révolution complète du cercle (j, sera ditun^rc 

 complet de cette courbe; le secteur limité par cet arc et par les rayons issus 

 de O qui aboutissent en ses extrémités, un secteur complet. Cela posé, la 

 longueur s^. de l'un, la surface i,. de l'autre sont données par les formules 



P 



ylix il'J.u. 



p 2 



C. R., tgiS, 2* Semestre. (T. 161, N» 19.) 75 



