SÉANCE DU 17 AOUT igiS. 1-71 



résoudre le problème des vibrations des verges infiniment longues dans les 

 deux directions. Alors ^ se réduit à une droite infinie parallèle à l'axe des a-. 

 Si au contraire la verge a une longueur finie, la courbe s se compose d'une 

 portion de droite /„, parallèle à l'axe des .r, et de deux portions de 

 droites s^^ ^,, perpendiculaires à cet axe. Dans ce cas, la formule (2) ne 

 suffît pas pour résoudre le problème, car, sur ^^ et s,, deux quantités seule- 

 ment ( ; et -r^ par exemple j peuvent être données arbitrairement. C'est ce 

 que montre la position pbysique du problème, et l'on peut facilement s'en 

 convaincre en multipliant l'équation (i ) p<'ir ;;p et en appliquant le procédé 



de Green au domaine F. Pour résoudre dans ce cas le problème, on s'est 

 servi d'autres méthodes où n'intervient pas la solution fondamentale. Si 

 l'on suppose la verge infinie dans une direction seulement, on peut cepen- 

 dant résoudre le problème par une généralisation de la méthode des images 

 analogue à celle dont je me suis servi dans un autre cas (Voir Âj-kiç for 

 Matematik de Stockholm, t. 8, n" 23). 



Supposons donc s^ infiniment éloignée à droite, tandis que ^„ coïncide 

 avec l'axe des y. Au lieu de la solution fondamentale, nous prendrons 

 comme point de départ la fonction 





FCt^~.r,n—y) = ^r,—ye'''-~y ^ ^^ l e "^ dl, 



qui satisfait également à l'équation (i). Considérons d'abord le cas où r- 

 et -r^ sont donnés sur s^. La fonction de (ireen G(E, r, 'q, y) de ce pro- 

 blème doit satisfaire aux conditions suivantes : 



G doit être une solution de (i\ régulière à l'intérieur de F; 



Pour y = ri, on doit avoir 



G = o et I z -—- djL- = /.• c ( 4, Y) ) ; 



-'/, 'h' 



Pour .r = o, jy <^ r^, on doit avoir 



(t — -— = o. 

 OJC 



Or une telle fonction s'obtient en prenant la partie réelle de 



H(ç, .r, y),y) 



