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ACADEMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces minima 

 formant une famille de Lamé. Note de M. T. -H. Gronwall. 



Ecartons le cas évident où ces surfaces sont des plans, ainsi que le cas des 

 cylindres imaginaires minima non représentables par la formule (i), dont 

 une famille quelconque est toujours une famille de Lamé; toute autre 

 famille de surfaces minima est comprise dans les formules suivantes, où p est 

 le paramètre de la famille et /(«, p), «(ç', p) des fonctions analytiques en u 

 et (^ respectivement, 



(0 



.r -1- ly 



X — i y 



(hi- 



du 



âu^- 



à'^- 



dV- 

 du- du 





;?r-'^^' 



àv- ôv 



Soit H</p la distance des deux surfaces correspondant aux paramètres p 



et 



(2) 



d^'^ nous tirons de (i) 



II 



(r, 



àf 



à^- 



au âç. 



àv dp 1 + uv Op I H- u\- dp 



Pour que la famille (i) soit une famille de Lamé, il faut et il suffît 

 (voir Daruoix, Systèmes orthogonaux^ 2*" éd., p. 76) que H satisfasse à 

 l'équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre dont i, x, y, z 

 et x^ -\- y- -\- z^ sont des solutions particulières; cette équation devient ici 



(3) 



J'ai réussi à intégrer complètement l'équation du quatrième ordre en f 

 et g obtenue en substituant H pour 0; en dehors du cas bien connu des sur- 

 faces minima de révolution autour d'un axe commun, il n'y a qu'une seule 



