igo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



aucune propriété des formes réduites, qu'on définit seulement a posleriori 

 à l'aide du polyèdre. 



On peut, croyons-nous, combler ces lacunes en restant dans l'ordre 

 d'idées inauguré par Hermite, et en prenant pour point de départ la réduc- 

 tion des formes. 



Pour abrég-er, on supposera D ^ i ou 2, mod4 ; le cas de D ee= 3 se traite- 

 rait de même; celui de D^o est exclu, car D ne doit pas avoir de diviseur 

 carré. 



2. Soit donc A.r.ro — />.ryo — Z^^^.r'^y -h Cyjn, ou (A, />, C), une forme 

 satisfaisant aux conditions suivantes : 



1° A et G sont des entiers ordinaires positifs; 



2'' b et ^0 sont des entiers d'un corps quadratique imaginaire S, et Z>„ est 

 le conjugué de b\ 



3° Le discriminant, AC — bh^^^ de la forme est positif; 



4° On donne à ccQiy des valeurs quelconques, entières dans ^^^ et à x^, y^ 

 les valeurs respectivement conjuguées. 



Dans ces conditions, la forme ne représente que des entiers positifs réels. 



Nous dirons qu'elle représente proprement un entier lorsque les valeurs 

 correspondantes de x et y sont premières entre elles, c'est-à-dire lorsque les 

 idéaux principaux (.x-) et (y) sont premiers entre eux. 



Enfin, deux formes sont dites proprement équivalentes lorsqu'on passe 

 de l'une à l'autre par une substitution à coefficients entiers de C, et de 

 déterminant -f^ i, effectuée sur x^y\ les variables ^05 J'o subissent la sub- 

 stitution conjuguée. 



Cela posé, il est clair qu'on peut, comme dans la théorie d'Hermitc, 

 trouver une forme, proprement équivalente à la proposée et dont le pre- 

 mier coefficient, A, soit le minimum propre de celle-ci, c'est-à-dire le plus 

 petit entier ordinaire, non nul, rcprésentable joro/reme/z^ par elle : cela tient 

 à ce que si deux entiers, H et y], de 3 sont premiers entre eux, on peut en 

 trouver deux autres, a et ^, tels que 



a-l — (Srj = + I . 



On peut ensuite, en opérant sur la nouvelle forme la substitution ^, y; 



X -f- Aj, J, la ramener au type (A, b, C), où, si l'on pose 



