SÉANCE DU 23 AOUT I9l5. 191 



on aura 



1 - B, B., . 



1 ) ;^. ' , Y < - • 



2 A A 3 



A ces inégalités on pourrait joindre Cl A, puisque C est représentable 

 proprement par la forme, dont A est le minimum propre; mais leur 

 ensemble ne suffit pas ici à exprimer que ce minimum est effectivement A. 

 Il faut, pour cela, écrire que l'inégalité 



( 2 ) A /.>.„ — b Àp-o — h,, \ [j. + C [j-^o i, A 



a lieu pour toutes les valeurs de X, a, entiers de G et premiers entre eux. 



Si les inégalités (i) et (2) sont vériliées dans ces conditions par les coef- 

 ficients d'une forme, on dira que celle-ci est réduite. 



3. Il s'agit maintenant d'étudier les inégalités (2) et de voir si elles se 

 ramènent à un nombre limité d'entre elles. 



A cet effet, introduisons le point ^^r^^^C,^ représentai i f àe la forme (A, <^, C), 

 situé au-dessus du plan '( = o, et défini par 



(3) l^T^l^-, ^_.^,^_, |-+.^,2_,_Ç2^_. 



l'inégalité (2) s'écrit 



( 4 ) w^o ( I' + -fi - + C ) — s' ( >^/-^o + /^>'o ) — ^n ( ixlo — Ap-o ) + X Ao — I = o . 



Elle exprime que le point ^, y], '( est à l'extérieur ou sur la surface d'une 

 sphère, que nous désignerons par (X, a), dont le centre est, da/is le 



plan 'C = o, le point analytique ;j = - , et dont le rayon est l'inverse du 



F- 

 module de p.. De plus, X et u. sont des entiers de G, premiers entre eux. 



Le point représentatif d'une réduite sera donc dans un domaine limité 

 comme il suit : 1° en vertu de (i), par les quatre plans ^ = ±- et 



V] = ± - v'D; 2° par les sphères (A, \l). Le prisme formé par les quatre 

 plans, ouvert en haut, du côté des "( positifs, sera fermé vers le bas par les 

 sphères, ou du moins par certaines d'entre elles. On simplifiera la 

 recherche en observant que si (X, a) est une des sphères de fermeture, il 

 en est de même des sphères (± X, ± tj.), en sorte qu'il suffit de considérer 

 le quart du prisme contenu dans le trièdre positif des axes, et de chercher 

 à le fermer : en lui adjoignant ensuite ses symétriques par rapport aux 

 plansç = o, Y] = o et à l'axe ^ = yj = o, on aura le domaine tolal cherché. 



