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La possibilité de fermer le prisme par des sphères (X, [j.) résulle du 

 théorème suivant : 



4. Théorème. — Tout point z du plan des ^, y], dont Vaffixe est un nombre 

 rationnel du corps 8, est soit à r intérieur, soit sur la surface, d'une 

 sphère (X, fx), de rayon fini. 



Si Ton pose :: = ^ -f- ir\, cela revient à dire, en faisant 'C = o dans (4), 

 qu'on peut trouver \ et tJ., entiers du corps premiers entre eux, tels qu'on 

 ait 



[/J.(^ + /rj) — >.] [p.u(i —<■■/])— >,o] 5 I, 



c'est-à-dire, en désignant la norme par la lettre a)b, 



(5) 3i;,(jji3 — A)<i (») ou )b(/jL/- — A5)|Db^, 



étant posé s = -, où /• et j' sont des entiers de 3. 



Si r et s sont premiers entre eux, il suffira de prendre X = r, [x = s pour 

 que l'inégalité (5) ait lieu, son premier membre étant alors nul : la 



sphère (X, p.) a pour centre le point - lui-même et, pour rayon, i :mod^. 



C'est ce qui arrive, en particulier, lorsque z est entier; le rayon est 

 alors I. 



Si r et s ne sont pas premiers entre eux, on posera 



(6) (/■) = IJ:, (^)=:TJ, 



I étant l'idéal (r, s), plus grand commun diviseur de (r) et '(.y), et J,, J 

 étant des idéaux premiers entre eux. 



D'autre part, si F est un idéal quelconque de la même classe que I, on 



pourra écrire 



l'J,= (,-'), Vi = {s'), 



r' r 

 d'où l'on conclura — = -, au signe près, puisqu'il n'y a pas, dans £, 



/■' r 



d'autres unités que ± i . Dès lors, le point — est le même que - et peut être 



substitué à lui pour la démonstration du théorème; sous une autre forme, 

 on peut supposer que, dans (6), I est un idéal particulier, choisi à volonté 



(*) La solution /j. = o, ?^ = i est inacceptable, parce que, le premier membre de (4) 

 s'annulanl identiquement pour ces valeurs, la sphère (i, o) n'existe pas. 



