SÉANCE DU 23 AOUT IQlÔ. 193 



dans une classe donnée, à savoir, d'après (6) même, la classe réciproque 

 de celle qui contient J et J, . 



Voici comment nous choisirons I. On sail qu'à l'idéal (normal) de base 

 normale {q, g -\- /\/D) répond la forme quadratique positive, de discrimi- 

 ncmlX), ai proprement primitive 



cjx''-{-2gxy+ i(o^-^D)y-, 



et inversement; aux idéaux normaux d'une classe répondent ainsi les 

 formes d'une classe. Nous prendrons alors pour I l'idéal qui correspond à 

 la réduite de Gauss de la classe de formes; si qx- -{- 1 g xy -\- hy- , ou (q,g,à), 

 est cette réduite, nous poserons donc 



(7) I = (^'o+VÔ); q>o; —q^-i.i.'<q; g'- + D = o moA <] . 

 D'autre part, un entier quelconque de I étant donné par la formule 



qx + {g + L\/\})y, 

 où X et y sont des entiers ordinaires, sa norme est 



q qoc^-\-i gxy + ^ ( g'- + D ) f^ 



et a dès lors pour minimum q- ^ par une propriété classique des réduites de 

 Gauss. 



Distinguons maintenant deux cas, en observant que s est, par (6), un 

 entier de I. 



1° SloS'^q'-. On satisfera à Vijiégalitê (5) en choisissant A et [j. de telle 

 sorte que u.r — 'Ks=^q, ce qui est possible, puisque u,r — \s, quand on fait 

 varier A et a, parcourt tous les entiers de l'idéal plus grand commun divi- 

 seur de /■ et ^, donc de I, et que q appartient à celui-ci. Mais il faut en outre 

 que X et u. ainsi déterminés soient premiers entre eux. 



Or, l'idéal I ayant comme base soit (/■, s), soit (q, g -\- i \/' i^) -, on sait, 

 par un théorème connu, que les deux bases sont liées par des relations 

 linéaires et homogènes de déterminant i, c'est-à-dire qu'il existe, dans Q, 

 des entiers a, [^, y, 0, tels que 



(8) ^ = a/'-i-f35, g+ i\^^D = yr -ï- ds, ad — {3y 





La première de ces relations donne, pour À et [j., la solution 



