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et, par ao — [^y =z i, on voit que a et (^, donc X et a, sont premiers entre 

 eux. 



2° OToS = q- . En exprimant s comme entier de 1, on aura 



d'où 



'-=q\qx-+'i g-py "^ ^ ( i'' "^ '^ ^y'' 



Mais la forme réduite, proprement primitwe^ entre crochets ne représente y, 



son minimum, que pour a: =± i, j =: o, qI., peut-être^ pour.ic = o, y ==± i , 



ceci seulement dans le cas particulier où o-- -|_ D = q^. Dans le cas général, 



on aura donc 



5 =: ±7 ou 5 = ^, 



puisqu'on peut, sans changer le point -? changer à la fois les signes de r et 

 de s. Quant à r, c'est, par (6), un entier de 1, donc on a 



(9) ^ — 9^ r = (ja^{g + i\J\})b, 



a et b étant des entiers ordinaires. De plus, on doit exprimer que le plus 

 grand commun diviseur, (r, s)^ de (r) et de (s) est l'idéal I, défini par (7); 

 cela revient évidemment à exprimer que g 4- i \/D est de (r, s) ou, comme 

 on le voit aisément, que les entiers ordinaires b et q sont premiers entre eux. 

 Dans le cas particulier où g- -\-Y) ^= q- ^ on a encore la solution 



avec a et q premiers entre eux; d'où 



r _ qa -\- (g -h i \/D)b _ bq ^ a( g — i \/D} 



Ces valeurs de - sont comprises dans celles que donneraient les for- 

 mules (9), si l'on y introduisait, au lieu de la réduite (q,g: h), la réduite 

 opposée (q, — g, /?), ici d'ailleurs équivalente à la première. 



Nous pouvons donc nous borner iiux points -; définis par (9). Pour 



ceux-là, on ne peut satisfaire à (5) qu'en y prenant le signe =, puisque 

 gi,s = q-, et que q- est le minimum de 3^([jir — A^), norme d'un entier de I. 

 Mais on peut efTectivement y satisfaire, par des entiers, X et [j., premiers 

 entre eux. 



