SÉANCE DU 23 AOUI IQlS. igS 



Par exemple, en vertu des formules (8), qui sont toujours vraies, les 

 valeurs p. — a, A == — [î donnent u./- — A.v = q, ce qui vérifie bien (5), 

 avec le signe =. Mais il y a une infinité daatres solutions. 



5. Conclusions. — i" On pourra fermer vers le bas, par des sphères 

 (à, (j.-), le domaine de réduction. Dans chaque cas particulier on devra 

 faire une étude spéciale pour les déterminer. 



2° Tlyaura, dans le plan C = o, des points qui seront ^wr des sphères 

 (À, a), mais ne seront à /'intérieur d'aucune. Ce seront donc des sommets, 

 dits sommets singuliers, du domaine de réduction. 



On les obtiendra en cherchant ceux des points -? donnés par (9), qui 



sont à l'intérieur ou sur les côtés du rectangle limité par les droites 



^ = ± -; [V. = ± - vD. Bornons-nous ici au quart, R, de ce rectangle, situé 



dans l'angle positif des axes; on complétera ensuite par symétries (n" 3). 



D'après (9), il y a autant de familles de sommets singuliers qu'il y a de 



réduites de Gauss, positives et proprement primitives, de discriminant D; 



toutefois, la classe principale ne donne aucun sommet singulier, car, pour 



sa réduite, 7 = 1, d'où i- = i , et - est entier ( ' ). Or nous avons vu que les 



points entiers sont centres de sphères (A, [x) de rayon i . 



Soit alors une réduite de Gauss, de discriminant D, dont les deux 



premiers coefficients sont q et g(q'^i): pour que le point (9), -> soit 



dans R, il faut, puisque b doit être premier à q, que o <^h 2-^ le signe = 

 convenant seulement si ^ = 2. On aura donc, pour b, un nombre de valeurs 

 admissibles égal à -ç (^), c'est-à-dire moitié du nombre des entiers posi- 

 tifs premiers k q et inférieurs à lui, avec la convention o (2) = 2. On voit 

 ensuite, b étant donné, qu'on ne peut pas toujours déterminera pour que le 



point -soit dans R: d'une manière précise, deux réduites opposées, non 



équivalentes, donnent à elles deux une solution et une seule; une classe 

 ambiguë en donne toujours une. 



Si donc on ne considère pas comme distinctes deux classes opposées, et 



(') En ce cas, Tidéal (/•, 5) esl ( i ), et /, .v sont premiers entre eux, conlrairemenl 

 à l'hypothèse qui a conduit au\ formules (9). 



