23o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



à-dire liés par une relation du type 



(lo) z'z=i-^--X, (aô— âv — O, 



y z -^ 1 / 



a, p, Y, entiers du corps G, de déterminant + i . Je dis en effet que tous 

 les points (9), -5 qui proviennent d'une même réduite, c'est-à-dire les 

 points 



./ „ 9'^'^ + (^ "+" ' V '>) I' 

 'I 



(a et h entiers ordinaires et b premier à q), sont équivalents à l'un d'eux, 

 par exemple à celui pour lequel « = o, /; == i . 



Cela tient à ce que l'idéal \q, qa 4- {g + « v 1^ ^1' ^^ ('' '^ )' coïiicidea\ec 

 . (^j g -^ ^vD), ou I, comme nous l'avons déjà remarqué (n°4); il en résulte, 

 par un théorème plusieurs fois invoqué, que q et qa -\- [g -^ i\iY))h s'ex- 

 priment par des fonctions linéaires et homogènes de q et {g + ï\/D), à coef- 

 ficients entiers dans £ et de déterminant + i. 



8. Domaine du groupe de Bianchi. — Le domaine de réduction est aussi, 

 dans Tespace, un polyèdre fondamental pour le groupe F formé parles 

 substitutions (10). Pour l'établir immédiatement, il suffit de démontrer que 

 deux formes d'Hermite positives réduites, dont les points représentatifs 

 'àowx.dans le domaine, ne peuvent être équivalentes sans être identiques. 

 Or, si (A, ^, C) et (A', h' ^ G) sont ces formes, on a déjà A' = A, par 

 l'égalité évidente des minima propres de deux formes équivalentes; de plus, 

 A n'a, parla première forme, qu'une représentation propre (.r= ±. i,y = 0), 

 car, s'il en avait une seconde (À, [jl), c'est que la sphère (A, |ji.) passerait par 

 le point représentatif de la forme, contrairement à l'hypothèse que ce point 

 est û^<2«5 le domaine, où aucune sphère (A, \x) ne pénètre. On en conclut 

 de suite que (A, h\ C) ne peut se déduire de (A, ^, C) que par une substi- 

 tution du type j;, y ; ^r -h ay, j, et dès lors les inégalités (i) ne sont pos- 

 sibles /?ow/- les deux formes que si a = o, ce qui établit la proposition. 



9. D'après le n" 7, les sommets singuliers provenant d'une même 

 réduite sont équivalents dans F; dès lors, un ^f/// d'entre eux est un sommet 

 nécessaire de tout domaine fondamental de F, et l'on pourrait aisément 

 former, dans le cas de D=:2i, un domaine pourV n'ayant que les seuls 

 sommets singuliers S.jSoCt S;,. Cela est d'accord avec des conclusions 



